Question

【題目】如圖①，直線y＝kx+2與坐標軸交于A、B兩點，OA＝4，點C是x軸正半軸上的點，且OC＝OB，過點C作AB的垂線，交y軸于點D，拋物線y＝ax2+bx+c過A、B、C三點．

（1）求拋物線函數關系式；

（2）如圖②，點P是射線BA上一動點（不與點B重合），連接OP，過點O作OP的垂線交直線CD于點Q．求證：OP＝OQ；

（3）如圖③，在（2）的條件下，分別過P、Q兩點作x軸的垂線，分別交x軸于點E、F，交拋物線于點M、N，是否存在點P的位置，使以P、Q、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y＝﹣x2﹣x+2; (2)見解析;(3)見解析.

【解析】

（1）根據自變量與函數值的對應關系可得A、B點坐標，再根據OB＝OC可得C點坐標，進而根據待定系數法可得拋物線解析式；（2）根據題意易得∠BAO＝∠ODC，然后根據“ASA”證得△AOB≌△COD，進而可得OA＝OD，∠OAD＝∠ODQ，再根據∠POQ＝∠AOD＝90°得到∠AOP＝∠DOQ，因此可證△AOP≌△DOQ，即可證OP＝OQ；（3）設點P橫坐標為n，則點P坐標為（n， n+2），點M的坐標為（n， n2﹣n+2），通過證△OPE≌△OQF（AAS）確定Q，N的坐標，由題意可得PM∥QN，故當PM＝QN時，以P、Q、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，分P在M點上方以及P在M點下方兩種情況進行討論，根據PM＝QN求出點P坐標即可.

解：（1）∵OA＝4

∴點A（﹣4，0）

∵直線y＝kx+2與坐標軸交于A、B兩點，

∴點B（0，2），0＝﹣4k+2

∴OB＝2，k＝

∴直線解析式y＝x+2

∵OC＝OB＝2

∴點C（2，0）

∵拋物線y＝ax2+bx+c過A、B、C三點．

∴ ，

解得：a＝﹣，b＝﹣，c＝2

∴拋物線解析式：y＝﹣x2﹣x+2;

（2）∵CD⊥AB

∴∠BAO+∠DCO＝90°

又∵∠ODC+∠DCO＝90°

∴∠BAO＝∠ODC且OB＝OC，∠AOB＝∠COD＝90°

∴△AOB≌△COD（ASA）

∴OA＝OD，∠OAB＝∠ODC

∴∠OAP＝∠ODQ

∵∠POQ＝90°，∠AOD＝90°

∴∠AOP＝∠DOQ且OA＝OD，∠OAP＝∠ODQ

∴△AOP≌△DOQ（ASA）

∴OP＝OQ

（3）設點P橫坐標為n，則點P坐標為（n， n+2），點M的坐標為（n， n2﹣n+2）

∵QF⊥x軸，

∴∠FQO+∠QOF＝90°，且∠QOF+∠POE＝90°

∴∠FQO＝∠EOP

又∵∠OEP＝∠QFO＝90°，OP＝OQ

∴△OPE≌△OQF（AAS）

∴OE＝QF，PE＝OF

∴點Q的坐標為（n+2，﹣n），點N坐標（n+2，﹣n2﹣n）．

由題意可得PM∥QN

當PM＝QN時，以P、Q、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形

當點P位于點M上方時：如圖：

∴PM＝（n+2）﹣（n2﹣n+2）＝n2+n

QN＝（﹣n）﹣（﹣n2﹣n）＝n2﹣n

∴n2﹣n＝n2+n

解得：n＝0（不合題意舍去），n＝﹣

∴×（﹣）+2＝﹣

∴點P坐標為（﹣，﹣）

當點P位于點M下方時，如圖：

∴PM＝（n2﹣n+2）﹣（n+2）＝﹣n2﹣n

QN＝（﹣n）﹣（﹣n2﹣n）＝n2﹣n

∴﹣n2﹣n＝n2﹣n

解得：n＝0（不合題意舍去），n＝﹣，

∴×（﹣）+2＝

∴點P的坐標為（﹣，）

綜上所述：點P坐標（﹣，﹣），（﹣，）