Question

【題目】如圖，⊙O過ABCD的三頂點A、D、C，邊AB與⊙O相切于點A，邊BC與⊙O相交于點H，射線AD交邊CD于點E，交⊙O于點F，點P在射線AO上，且∠PCD=2∠DAF．

（1）求證：△ABH是等腰三角形；

（2）求證：直線PC是⊙O的切線；

（3）若AB=2，AD=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】(1)證明參見解析；（2）證明參見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）要想證明△ABH是等腰三角形，只需要根據平行四邊形的性質可得∠B=∠ADC，再根據圓內接四邊形的對角互補，可得∠ADC+∠AHC=180°，再根據鄰補角互補，可知∠AHC+∠AHB=180°，從而可以得到∠ABH和∠AHB的關系，從而可以證明結論成立；（2）要證直線PC是⊙O的切線，只需要連接OC，證明∠OCP=90°即可，根據平行四邊形的性質和邊AB與⊙O相切于點A，可以得到∠AEC的度數，又∠PCD=2∠DAF，∠DOF=2∠DAF，∠COE=∠DOF，通過轉化可以得到∠OCP的度數，從而可以證明結論；（3）根據題意和（1）（2）可以得到∠AED=90°，由平行四邊形的性質和勾股定理，由AB=2，AD=，可以求得半徑的長．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ADCH是圓內接四邊形，∴∠ADC+∠AHC=180°，又∵∠AHC+∠AHB=180°，∴∠ADC=∠AHB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ADC=∠B，∴∠AHB=∠B，∴AB=AH，∴△ABH是等腰三角形；（2）證明：連接OC，如右圖所示，∵邊AB與⊙O相切于點A，∴BA⊥AF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴CD⊥AF，又∵FA經過圓心O，∴弧DF=弧CF，∠OEC=90°，∴∠COF=2∠DAF，又∵∠PCD=2∠DAF，∴∠COF=∠PCD，∵∠COF+∠OCE=90°，∴∠PCD+∠OCE=90°，即∠OCP=90°，

∴直線PC是⊙O的切線；（3）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC=AB=2，∵FA⊥CD，∴DE=CE=1，∵∠AED=90°，AD=，DE=1，∴AE=，設⊙O的半徑為r，則OA=OD=r，OE=AE﹣OA=4﹣r，∵∠OED=90°，DE=1，∴r2=（4﹣r）2+12,解得，r=，即⊙O的半徑是．