Question

如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠BAC的平分線與⊙O相交于點D，過點D作⊙O的切線EF，與AC的延長線交于點E，與AB的延長線交于點F．
（1）試判斷EF與BC的位置關系，并說明理由；
（2）若FD=6，AF=9，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）連結OD，就可以由條件得出OD∥AE，就可以得出∠ODF=∠AEF，由切線的性質可以得出∠ODF=90°，進而有∠E=90°，由∠ACB=90°就可以得出∠E=∠ACB，就有BC∥EF；
（2）根據切割線定理就可以得出BF的值，就可以得出AB的值而得出半徑．

解答：解：（1）BC∥EF，理由如下：
連結OD．
∵EF是⊙O的切線交⊙O于點D，
∴OD⊥EF，∠ODA=∠OAD．
∴∠ODF=90°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
∴∠ODA=∠EAD，
∴OD∥AE，
∴∠ODF=∠E=90°．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°
∴∠ACB=∠E，
∴BC∥EF；

（2）∵EF是⊙O的切線，
∴DF²=BF•AF．
∵FD=6，AF=9，
∴36=9BF，
∴BF=4，
∴AB=5，
∴OB=2.5
答：⊙O的半徑為2.5．

點評：本題考查了平行線的性質及判定的運用，切線的性質的運用，角平分線的性質的運用，切割線定理的運用，解答時運用好切線的性質求解是解答本題的關鍵．