Question

【題目】（1）如圖 1，O 是等邊三角形 ABC 內一點，連接 OA，OB，OC，且 OA＝3，OB＝4，OC＝5，將△BAO 繞點 B 順時針旋轉后得到△BCD，連接 OD．

填空：①旋轉角為 °；②線段 OD 的長是 ；③∠BDC= °；

（2）如圖 2，O 是△ABC 內一點，且∠ABC＝90°，BA=BC． 連接 OA，OB，OC，將△BAO 繞點 B 順時針旋轉后得到△BCD，連接 OD．當 OA，OB，OC 滿足什么條件時，∠BDC＝135°？請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)①60；②4;③150;(2) ,理由見解析

【解析】

（1）根據△ABC是等邊三角形可得旋轉角為60°，根據旋轉可得CD= OA＝3,△B OD是等邊三角形，即可求出OD 的長，再根據勾股定理逆定理求出∠ODC＝90°即可求解；

（2）先根據△BAO 繞點 B 順時針旋轉后得到△BCD，可得∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD,CD=AO，故得到△OBD是等腰直角三角形，DO＝，再由勾股定理得到△OCD是直角三角形，∠ODC＝90°，即OA2+2OB2=OC2，再進行等量替換即可求解．

（1）①∵△ABC是等邊三角形

∴BA=BC，∠ABC＝60°

∵將△BAO 繞點 B 順時針旋轉后得到△BCD，

∴∠OBD=∠ABC＝60°

∴旋轉角為60°，

②∵將△BAO 繞點 B 順時針旋轉后得到△BCD，

∴BO= BD

∵∠OBD=60°

∴△B OD是等邊三角形，

∴OD = OB=4，

③∵△B OD是等邊三角形，

∴∠BDO=60°

∵將△BAO 繞點 B 順時針旋轉后得到△BCD，

∴CD= AO=3

在△OCD中，CD=3,OD=4,OC=5

∴CD2+OD2=OC2

∴△OCD是直角三角形，∠ODC=90°

∴∠BDC=∠BDO+∠ODC=150°

故答案為：①60；②4;③150；

（2）當OA2+2OB2=OC2時，∠BDC＝135°，

理由如下：

∵將△BAO 繞點 B 順時針旋轉后得到△BCD，

∴∠OBD=∠ABC=90°，BO=BD,CD=AO

∴△OBD是等腰直角三角形，且∠BDO＝45°，

∴DO＝

∵CD2+OD2=OC2時，△OCD是直角三角形，∠ODC＝90°，

即當OA2+2OB2=OC2時，∠ODC＝90°，∠BDC＝135°．