Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于點和點，與軸交于點，作直線，點的坐標為，點的坐標為．

（1）求拋物線的解析式并寫出其對稱軸；

（2）為拋物線對稱軸上一點，當是以為直角邊的直角三角形，求點坐標；

（3）若為軸上且位于點下方的一點，為直線上的一點，在第四象限的拋物線上是否存在一點．使以為頂點的四邊形是菱形且為菱形對角線？若存在，請求出點的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），對稱軸；（2）點或；（3）點．

【解析】

（1）將點B、C的坐標代入二次函數表達式，即可求解；

（2）分∠BCD＝90、∠DBC＝90兩種情況，分別求解即可；

（3）根據CE為菱形的對角線時，PQ⊥CE，即PQ∥x軸，再根據CQ=CP得到方程組，聯立即可求解．

解：（1）將點的坐標代入二次函數表達式得：，

解得：，

故拋物線的表達式為：，

令，則或6，則點，

則函數的對稱軸；

（2）①當時，

設BC的解析式為y=kx+b，

把B、 代入得

解得

∴直線的表達式為：，

∵BC⊥CD，

∴可設直線CD為y=-x+d

把 代入y=-x+d得-6=d，

∴直線的表達式為：，

當時，，故點；

②當時，

直線的表達式為：，

∵BD⊥CD，

∴可設直線BD為y=-x+e

把B代入y=-x+e得0=-6+e，

∴e=6

∴直線BD的表達式為：，

當時，，故點，

故點或；

（3）由題意知為菱形的對角線，

則，即軸，

設點，則點，

把Q代入拋物線得…①，

∵直線的表達式為：，

∴∠CPE=45°，

∴△PCE是等腰直角三角形，

∵PE=-m，

∴，

∵EQ=s，CE= PE=-m

∴，

由題意得：，即：…②

聯立①②并解得：或-2（舍去6）

故點；

∴點．