Question

【題目】學習千萬條，思考第一條。請你用本學期所學知識探究以下問題：

（1）已知點為直線上一點，將直角三角板的直角頂點放在點處，并在內部作射線．

①如圖1，三角板的一邊與射線重合，且，若以點為觀察中心，射線表示正北方向，求射線表示的方向；

②如圖2，將三角板放置到如圖位置，使恰好平分，且，求的度數.

（2）已知點不在同一條直線上，，平分，平分，用含的式子表示的大小.

Answer 1

【答案】（1）①射線OC表示的方向為北偏東60°；②45°；（2）∠MON為或或．

【解析】

（1）①根據∠MOC=∠AOC-∠AOM代入數據計算，即得出射線OC表示的方向；

②根據角的倍分關系以及角平分線的定義即可求解；

（2）分射線OC在∠AOB內部和外部兩種情況討論即可．

（1）∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°，

∴射線OC表示的方向為北偏東60°；

（2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，

∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，

∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，

∴3∠NOC+∠NOC＝90°，

∴4∠NOC＝90°，

∴∠BON＝2∠NOC＝45°，

∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON

＝180°﹣90°﹣45°

＝45°；

Ⅱ、①如圖1：

∵∠AOB＝α，∠BOC＝β

∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120°

∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，

∴∠AOM＝∠BOM＝∠AOB＝α，∠CON＝∠BON＝∠COB＝β，

∴∠MON＝∠BOM+∠CON＝；

②如圖2，

∠MON＝∠BOM﹣∠BON＝；

③如圖3，

∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝．…

∴∠MON為或或．