Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，2），點P（t，0）在x軸上，B是線段PA的中點．將線段PB繞著點P順時針方向旋轉90°，得到線段PC，連結OB、BC．

（1）判斷△PBC的形狀，并簡要說明理由；

（2）當t＞0時，試問：以P、O、B、C為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出相應的t的值？若不能，請說明理由；

（3）當t為何值時，△AOP與△APC相似？

Answer 1

【答案】（1）等腰直角三角形（2）t=2（3）±1或±4

【解析】試題分析：（1）根據旋轉的現在得出PB=PC，再根據B是線段PA的中點，得出∠BPC=90°，從而得出△PBC是等腰直角三角形．

（2）根據∠OBP=∠BPC=90°，得出OB∥PC，再根據B是PA的中點，得出四邊形POBC是平行四邊形，當OB⊥BP時，得出OP2=2OB2，即t2=2（t2+1），求出符合題意的t的值，即可得出答案；

（3）根據題意得出∠AOP=∠APC=90°，再分兩種情況討論，當時和時，得出△AOP∽△APC和△AOP∽△CPA，分別求出t的值即可．

試題解析：（1）△PBC是等腰直角三角形，理由如下：

∵線段PB繞著點P順時針方向旋轉90°，得到線段PC，

∴PB=PC，

∵B是線段PA的中點，

∴∠BPC=90°，

∴△PBC是等腰直角三角形．

（2）當OB⊥BP時，以P、O、B、C為頂點的四邊形為平行四邊形．

∵∠OBP=∠BPC=90°，

∴OB∥PC，

∵B是PA的中點，

∴OB=AP=BP=PC，

∴四邊形POBC是平行四邊形，

當OB⊥BP時，有OP=OB，即OP2=2OB2，

∴t2=2（t2+1），

∴t1=2，t2=﹣2（不合題意），

∴當t=2時，以P、O、B、C為頂點的四邊形為平行四邊形．

（3）由題意可知，∠AOP=∠APC=90°，

當時，

△AOP∽△APC，

此時OP=OA=1，

∴t=±1，

當時，

△AOP∽△CPA，

此時OP=2OA=4，

∴t=±4，

∴當t=±1或±4時，△AOP與△CPA相似．