Question

某廠從2005年起開始投入技術改進資金，經技術改進后，其產品的生產成本不斷降低，具體數據如下表：

年    度	2006	2007	2008	2009
投入技改資金x（萬元）	2.5	3	4	4.5
產品成本y（萬元/件）	7.2	6	4.5	4

（1）請你認真分析表中數據，從你所學習過的一次函數、二次函數和反比例函數中確定哪種函數能表示其變化規律，說明確定是這種函數而不是其它函數的理由，并求出它的解析式；
（2）按照這種變化規律，若2010年已投入技改資金5萬元．
①預計生產成本每件比2009年降低多少萬元？
②如果打算在2009年把每件產品成本降低到3.2萬元，則還需投入技改資金多少萬元？（結果精確到0.01萬元）

Answer 1

解：（1）設其為一次函數，解析式為y=kx+b，
當x=2.5時，y=7.2；當x=3時，y=6，
∴
解得k=-2.4，b=13.2
∴一次函數解析式為y=-2.4x+13.2
把x=4時，y=4.5代入此函數解析式，
左邊≠右邊．
∴其不是一次函數．
同理．其也不是二次函數．
設其為反比例函數．解析式為y=．
當x=2.5時，y=7.2，可得：7.2=解得k=18
∴反比例函數是y=．
驗證：當x=3時，y==6，符合反比例函數．
同理可驗證x=4時，y=4.5，x=4.5時，y=4成立．
可用反比例函數y=表示其變化規律．

（2）①當x=5萬元時，y=3.6．
4-3.6=0.4（萬元），
∴生產成本每件比2009年降低0.4萬元．
②當y=3.2萬元時，3.2=．
∴x=5.625
∴5.625-5=0.625≈0.63（萬元）
∴還約需投入0.63萬元．
分析：（1）根據實際題意和數據特點分情況求解，根據排除法可知其為反比例函數，利用待定系數法求解即可；
（2）直接把x=5萬元和y=3.2分別代入函數解析式即可求解．
點評：主要考查了反比例函數的應用．解題的關鍵是根據實際意義列出函數關系式，從實際意義中找到對應的變量的值，利用待定系數法求出函數解析式，再根據自變量的值求算對應的函數值．要注意用排除法確定函數的類型．