Question

如圖所示，AC為⊙O的直徑且PA⊥AC，BC是⊙O的一條弦，直線PB交直線AC于點D，.

（1）求證：直線PB是⊙O的切線；
（2）求cos∠BCA的值．

Answer 1

解：（1）證明：連接OB、OP 
∵ 且∠D=∠D
∴ △BDC∽△PDO
∴ ∠DBC=∠DPO ∴  BC∥OP
∴ ∠BCO=∠POA  ∠CBO=∠BOP
∵  OB=OC  ∴ ∠OCB=∠CBO  ∴ ∠BOP=∠POA
又∵  OB=OA  OP=OP    ∴ △BOP≌△AOP  ∴ ∠PBO=∠PAO
又∵  PA⊥AC   ∴ ∠PBO=90° ∴ 直線PB是⊙O的切線
（2）由（1）知∠BCO=∠POA   設PB，則
又∵    ∴  
又∵  BC∥OP  ∴   ∴ 
∴ ∴  ∴  cos∠BCA=cos∠POA= 

（1）連接OB、OP，由且∠D=∠D，根據三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易證得△BOP≌△AOP，則∠PBO=∠PAO=90°；
（2）設PB=a，則BD=2a，根據切線長定理得到PA=PB=a，根據勾股定理得到，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到，則，利用勾股定理求出OP，然后根據余弦函數的定義即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值．