Question

【題目】如圖1，矩形ABCD中，AB=6，∠DBC=30°，DM平分∠BDC交BC于M，△EFG中，∠F=90°，GF= ，∠E=30°，點F、G、B、C共線，且G、B重合，△EFG沿折線B﹣M﹣D方向以每秒 個單位長度平移，得到△E1F1G1 ， 平移過程中，點G1始終在折線B﹣M﹣D上，△E1F1G1與△DBM無重疊時，△E1F1G1停止運動，設△E1F1G1與△DBM重疊部分面積為S，平移時間為t，

（1）當△E1F1G1的頂點G1恰好在BD上時，t=秒；
（2）直接寫出S與t的函數關系式，及自變量t的取值范圍；
（3）如圖2，△E1F1G1平移到G1與M重合時，將△E1F1G1繞點M旋轉α°（0°＜α＜180°）得到△E2F2G1 ， 點E1、F1分別對應E2、F2 ， 設直線F2E2與直線DM交于P，與直線DC交于Q，是否存在這樣的α，使△DPQ為直角三角形？若存在，求α的度數和DQ的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）3
（2）

解：在Rt△DCM中，∵∠C=90°，CD=6，∠CDM=30°，

∴CM=2 ，DM=4 ，

∴BM=4 ．

①如圖2中，當0＜t≤4時，重疊部分是四邊形NF1GH，

S=S ﹣S = ×3× ﹣ （2 ﹣ t）（2﹣ t）=﹣ t2+2 t﹣ ，

②如圖3中，當4＜t≤7時，重疊部分是四邊形GHNF1，

S=S ﹣S = ﹣ [2 ﹣ （8 ﹣ t）][2﹣ （8﹣t）]=﹣ t2+ t﹣ ，

③如圖4中，當7＜t≤8時，重疊部分是△GHN，

S= （8 ﹣ t） （8 ﹣ t）= t2﹣6 t+24 ，

綜上所述，S=

（3）

解：存在．

理由：①如圖5中，當∠DQP=90°時，

∵∠QCM=∠CQF2=∠QF2M=90°，

∴四邊形MCQF2是矩形，

∴CQ=MF2= ，∠F2MC=90°

∴α=90°，DQ=CD﹣CQ=6= ．

②如圖6中，當∠DPQ=90°時，點P與點F2重合，點E、Q、C重合，此時α=120°，DQ=CD=6．

綜上所述，當α=90°，DQ=6﹣ 或α=120°，DQ=6時，△DPQ為直角三角形

【解析】解：（1）如圖1中，連接AC交BD于點O，作OH⊥BC于點H．

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD=6，BO=OD，
∴BH=HC，
∴OH= CD=3，
在Rt△DBC中，∵CD=6，∠DBC=30°，
∴BC=6 ，BD=12，BH=HC=3
∵在△EFG中，∠F=90°，GF= ，∠E=30°，
∴EF=3，EB=2 ，
∴當△E1F1G1的頂點E1恰好在BD上時，點E平移到點O處．
此時t= =3，
∴t=3時，△E1F1G1的頂點E1恰好在BD上，
所以答案是3．
【考點精析】關于本題考查的翻折變換（折疊問題），需要了解折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等才能得出正確答案．