Question

【題目】在中，，點在射線上（與兩點不重合），以為邊作正方形，使點與點在直線的異側，射線與直線相交于點.

（1）若點在線段上，如圖（1），判斷：線段與線段的數量關系： ，位置關系： .

（2）如圖（2），①若點在線段的延長線上，（1）中判斷線段與線段的數量關系與位置關系是否仍然成立，并說明理由；

②當為中點，時，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）數量關系：，位置關系：；（2）①仍然成立，證明詳見解析；②

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質得到∠ACB=∠ABC=45°，由正方形的性質得到AD=AF，∠DAF=90°，由角的和差得到∠BAD=∠CAF，推出△BAD≌△CAF（SAS），根據全等三角形的性質得到∠ACF=∠B=45°，BD=CF，證得BC⊥CG，同理△ADC≌△AFG，即可得到結論；
（2）①根據等腰直角三角形的性質得到∠ACB=∠ABC=45°，由正方形的性質得到AD=AF，∠DAF=90°，由角的和差得到∠BAD=∠CAF，推出△BAD≌△CAF（SAS），根據全等三角形的性質得到∠ACF=∠B=45°，BD=CF，證得BC⊥CG，同理△ADC≌△AFG，即可得到結論；②如圖（2），過點A作AM⊥BD于M，根據勾股定理可得AD= .

（1）數量關系：，位置關系：；
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∵四邊形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
則在△BAD和△CAF中，，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠B=45°，BD=CF，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
∴BC⊥CG，
同理△ADC≌△AFG，
∴CD=GF，
∴BD+CD=CF+GF，
即BC=CG，
故答案為：BC=CG，BC⊥CG；
（2）①仍然成立

四邊形是正方形，

，

，

，

，

，

，

，

.

② 與①同理，可得BD=CF，BC=CG，BC⊥CG，
∵BC=2,G為CF中點，
∴CD=CG=FG=BC=2，
如圖（2），過點A作AM⊥BD于M，
∴AM=1，MD=3，
∴AD=