Question

【題目】在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，點D是邊BC上一點，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉90°，得到線段AE，連接DE．

（1）如圖①，當點E落在邊BA的延長線上時，∠EDC＝　 　度（直接填空）；

（2）如圖②，當點E落在邊AC上時，求證：BD＝EC；

（3）當AB＝2，且點E到AC的距離等于﹣1時，直接寫出tan∠CAE的值．

Answer 1

【答案】（1）90；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）利用三角形的外角的性質即可解決問題；

（2）如圖2中，作PA⊥AB交BC于P，連接PE．只要證明△BAD≌△PAE（SAS），提出BD=PE，再證明EC=2PE即可；

（3）如圖3，作EF⊥AC于F，延長FE交BC于H，作AG⊥BC于G，PA⊥AB交BC于P，連接PE．設PH＝x，在Rt△EPH中，可得EP＝x，EH＝2PH＝2x，

由此FH＝2x+﹣1，CF＝2x+3﹣，由△BAD≌△PAE，得BD＝EP＝x，AE＝AD，在Rt△ABG中， AG＝GB＝2，在Rt△AGC中，AC＝2AG＝4，故AE2＝AD2＝AF2+EF2，由勾股定理得AF＝1+，由此tan∠EAF＝2﹣，根據對稱性可得tan∠EAC＝．

（1）如圖1中，

∵∠EDC＝∠B+∠BED，∠B＝∠BED＝45°，

∴∠EDC＝90°，

故答案為90；

（2）如圖2中，作PA⊥AB交BC于P，連接PE．

∵∠DAE＝∠BAP＝90°，

∴∠BAD＝∠PAE，

∵∠B＝45°，

∴∠B＝∠APB＝45°，

∴AB＝AP，

∵AD＝AE，

∴△BAD≌△PAE（SAS），

∴BD＝PE，∠APE＝∠B＝45°，

∴∠EPD＝∠EPC＝90°，

∵∠C＝30°，

∴EC＝2PE＝2BD；

（3）如圖3，作EF⊥AC于F，延長FE交BC于H，作AG⊥BC于G，PA⊥AB交BC于P，連接PE．

設PH＝x，在Rt△EPH中，∵∠EPH＝90°，∠EHP＝60°，

∴EP＝x，EH＝2PH＝2x，

∴FH＝2x+﹣1，CF＝FH＝2x+3﹣，

∵△BAD≌△PAE，

∴BD＝EP＝x，AE＝AD，

在Rt△ABG中，∵AB＝2，

∴AG＝GB＝2，

在Rt△AGC中，AC＝2AG＝4，

∵AE2＝AD2＝AF2+EF2，

∴22+（2﹣x）2＝（﹣1）2+（4﹣2x﹣3+）2，

整理得：9x2﹣12x＝0，

解得x＝（舍棄）或0

∴PH＝0，此時E，P，H共點，

∴AF＝1+，

∴tan∠EAF＝＝＝2﹣．

根據對稱性可知當點E在AC的上方時，同法可得tan∠EAC＝．