Question

【題目】在平面直角坐標系中，為原點，點，點.若正方形繞點順時針旋轉，得正方形，記旋轉角為.

（Ⅰ）如圖①，當時，求與的交點的坐標；

（Ⅱ）如圖②，當時，求點的坐標；

（Ⅲ）若為線段的中點，求長的取值范圍（直接寫出結果即可)。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的坐標為；（Ⅱ）點的坐標為；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）當α=45°時，則，點在y軸上，根據勾股定理可得的長，再根據Rt△為等腰直角三角形，可得，從而得出點D的坐標；
（Ⅱ）過作軸，垂足為，與軸交于點. 當時，可證得，再利用直角三角形中所對的直角邊是斜邊的一半和勾股定理，求出OD和，同理可求出的長，從而得出點B′的坐標；
（Ⅲ）連接OB，AC相交于點K，則K是OB的中點，因為P為線段BC′的中點，所以PK=OC′=3，即點P在以K為圓心，3為半徑的圓上運動，即可得出AP長的取值范圍．

解：（Ⅰ）∵點，點，為正方形，

∴，.

∵正方形是正方形旋轉得到的，

∴，.

∴，.

∴.

∴點的坐標為.

（Ⅱ）過作軸，垂足為，與軸交于點.

∵，

∴.

∵,=6

∴,，.

∴.

∵, , ∴.

∴，.

∴.

∴點的坐標為.

（Ⅲ）.

如圖③，連接OB，AC相交于點K，
則K是OB、AC的中點，
∵P為線段BC′的中點，
∴PK=OC′=3，AK=
∴P在以K為圓心，3為半徑的圓上運動，
∴AP最大值為AK+KP＝，AP的最小值為AK-KP＝，
∴AP長的取值范圍為:.