Question

【題目】Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以 AC 為一邊．在△ABC 外部作等腰直角三角形ACD ，則線段 BD 的長為_____．

Answer 1

【答案】4或或

【解析】

分三種情況討論：①以A為直角頂點，向外作等腰直角三角形DAC；②以C為直角頂點，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC為斜邊，向外作等腰直角三角形ADC．分別畫圖，并求出BD．

①以A為直角頂點，向外作等腰直角三角形DAC，如圖1．

∵∠DAC=90°，且AD=AC，

∴BD=BA+AD=2+2=4；

②以C為直角頂點，向外作等腰直角三角形ACD，如圖2．

連接BD，過點D作DE⊥BC，交BC的延長線于E．

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，

∴∠DCE=45°．

又∵DE⊥CE，

∴∠DEC=90°，

∴∠CDE=45°，

∴CE=DE=2．

在Rt△BAC中，BC ，∴BD ；

③以AC為斜邊，向外作等腰直角三角形ADC，如圖3．

∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，

∴AD=DC=ACsin45°=2．

又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，

∴∠ACB=∠ACD=45°，

∴∠BCD=90°．

又∵在Rt△ABC中，BC ，

∴BD．

故BD的長等于4或或．

故答案為4或或．