Question

【題目】如圖，等腰直角三角形ABD中，∠A＝90°，AB＝AD＝2，作△ABD關于直線BD對稱的△CBD，已知點F為線段AB上一點，且AF＝m，連接CF，作∠FCE＝90°，CE交AD的延長線于點E．

（1）求證：△BCF≌△DCE；

（2）若AE＝n，且mn＝3，求m2+n2的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）10

【解析】

（1）首先證明四邊形ABCD是正方形，再根據ASA證明△CDF≌△CBF即可；

（2）由△CDF≌△CBF，推出DE＝BF＝n﹣2＝2﹣m，可得m+n＝4，再利用完全平方公式即可解決問題；

（1）證明：∵△BCD與△BAD關于直線BD對稱，

∴BA＝BC，DA＝DC，

∵∠A＝90°，AB＝AD＝2，

∴AB＝AD＝CD＝BC＝2，

∴四邊形ABCD是菱形，

∵∠A＝90°，'

∴四邊形ABCD是正方形，

∴∠DCB＝∠ECF＝90°，

∴∠ECD＝∠FCB，

∵∠CDE＝∠CBF＝90°，CD＝CB，

∴△CDF≌△CBF（ASA）．

（2）解：∵△CDF≌△CBF，

∴DE＝BF＝n﹣2＝2﹣m，

∴m+n＝4，

∴m2+2mn+n2＝16，

∵mn＝3，

∴m2+n2＝10．