Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是射線AB上的一個動點，以點P為圓心，PA為半徑的⊙P與射線AC的另一個交點為D，直線PD交直線BC于點E．

（1）若點D是AC的中點，求⊙P的半徑AP的長；

（2）若AP=2，求CE的長；

（3）設線段BE的中點為Q，射線PQ與⊙P相交于點I，點P在運動的過程中，當點D、C、 I、P構成一個平行四邊形時，請直接寫出所有AP的長。

Answer 1

【答案】（1）AP=；（2）CE=；（3）AP=或AP=

【解析】試題分析：（1）過點P作PF⊥y軸于點F，由銳角三角函數的定義得出tan∠PAF===，再根據垂徑定理得出AF的長，根據勾股定理即可得出結論；（2）由相似三角形的判定定理得出△ABC∽△DEC，在Rt△ABC中，根據勾股定理求出AB的長，再根據銳角三角函數的定義即可得出結論；（3）根據點P在線段AB上，點E在線段BC延長線上；點P在線段AB上，點E在線段BC上；點P在線段AB的延長線上三種情況進行分類討論．

試題解析：（1）過點P作PF⊥y軸于點F，

∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴tan∠PAF===，

∵點D是AC的中點，

∴AD=2，

∴AF=1，

∴=,解得PF=，

∴AP= ==.

(2)∵AP=DP，

∴∠PAD=∠PDA．

∵∠PDA=∠CDE，

∴∠PAD=∠CDE．

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴△ABC∽△DEC．

∴∠ABC=∠DEC， ．

∴PB=PE．

Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，BC=3，

∴AB=5．

∵AP=2，

∴PB=PE=3，DE=1

∴，CE=．

（3）AP=或AP=．

設AP=x，

①如果點P在線段AB上，點E在線段BC延長線上時（如圖2），

由（2）知，△ABC∽△DEC，

∴

∴，DC=（5-2x）,

當DC=PI時，點D、C、 I、P構成一個平行四邊形，由DC=PI得，（5-2x）= x，x=；

②如果點P在線段AB上，點E在線段BC上時（如圖3），

DC=（2x -5）, 當DC=PI時，點D、C、 I、P構成一個平行四邊形，

由DC=PI得，（2x -5）= x，x=，

∵＞5，與點P在線段AB上矛盾，∴x=舍去．

③如果點P在線段AB的延長線上（如圖4），

點E在線段BC的延長線上時， DC=（2x -5）, 當DC=PI時，點D、C、 I、P構成一個平行四邊形，由DC=PI得，（2x -5）= x，x=．