Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知點A（a，0），B（b，3），C（4，0），且滿足+（a﹣b+6）2＝0，線段AB交y軸于點F，點D是y軸正半軸上的一點．

（1）求出點A，B的坐標；

（2）如圖2，若DB∥AC，∠BAC＝a，且AM，DM分別平分∠CAB，∠ODB，求∠AMD的度數；（用含a的代數式表示）．

（3）如圖3，坐標軸上是否存在一點P，使得△ABP的面積和△ABC的面積相等？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（﹣3，0），B（3，3）；（2）∠AMD＝45°+a；（3）存在.

【解析】

（1）根據非負數的性質得到關于a，b的二元一次方程組，然后求解即可；

（2）過點M作MN∥DB，交y軸于點N，根據平行線的性質易證∠AMD＝∠AMN+∠DMN，再根據角平分線的定義整理即可得解；

（3）存在，設F（0，t），根據S△AOF+S△BOF＝S△AOB，求得F的坐標，再分P點在y軸上，與x軸上兩種情況進行討論即可.

解：（1）∵+（a﹣b+6）2＝0，

∴a+b＝0，a﹣b+6＝0，

∴a＝﹣3，b＝3，

∴A（﹣3，0），B（3，3）；

（2）如圖2，過點M作MN∥DB，交y軸于點N，

∴∠DMN＝∠BDM，

又∵DB∥AC，

∴MN∥AC，

∴∠AMN＝∠MAC，

∵DB∥AC，∠DOC＝90°，

∴∠BDO＝90°，

又∵AM，DM分別平分∠CAB，∠ODB，∠BAC＝a，

∴∠MAC＝a，∠BDM＝45°，

∴∠AMN＝a，∠DMN＝45°，

∴∠AMD＝∠AMN+∠DMN＝45°+a；

（3）存在．

連結OB，如圖3，

設F（0，t），

∵S△AOF+S△BOF＝S△AOB，

∴3t+t3＝×3×3，解得t＝，

∴F點坐標為（0，），

△ABC的面積＝×7×3＝，

當P點在y軸上時，設P（0，y），

∵S△ABP＝S△APF+S△BPF，

∴|y﹣|3+|y﹣|3＝，

解得y＝5或y＝﹣2，

∴此時P點坐標為（0，5）或（0，﹣2）；

當P點在x軸上時，設P（x，0），

則|x+3|3＝，

解得x＝﹣10或x＝4，

∴此時P點坐標為（﹣10，0），

綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（0，5）或（0，﹣2）或（﹣10，0）．