Question

【題目】已知等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°．點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC移動，以AD為腰作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°．連接CE．

（1）如圖，求證：△ACE≌△ABD；

（2）點(diǎn)D運(yùn)動時(shí)，∠BCE的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不變化，求它的度數(shù)；若變化，說明理由；

（3）若AC=，當(dāng)CD=1時(shí)，請求出DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）90°；（3）DE的長為或．

【解析】試題分析：（1）由△ABC和△ADE都是等腰Rt△可得，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，則有∠BAD=∠CAE，從而可證到△ACE≌△ABD；

（2）由△ACE≌△ABD可得∠ACE=∠ABD=45°，從而得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°；

（3）可分點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（如圖1）和點(diǎn)D在線段BC延長線上時(shí)（如圖2）兩種情況討論，在Rt△ABC中運(yùn)用勾股定理可求出BC，從而得到BD，由△ACE≌△ABD可得CE=BD，在Rt△DCE中運(yùn)用勾股定理就可求出DE．

試題解析：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰Rt△，

∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAD=∠CAE，

在△ACE和△ABD中，

，

∴△ACE≌△ABD；

（2）∵△ACE≌△ABD，

∴∠ACE=∠ABD=45°，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=45°+45°=90°；

∴∠BCE的度數(shù)不變，為90°；

（3）①點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如圖1，

∵AB=AC=，∠BAC=90°，

∴BC=，

∵CD=1，

∴BD=﹣1，

∵△ACE≌△ABD，

∴CE=BD=﹣1．

∵∠BCE=90°，

∴DE=；

②點(diǎn)D在線段BC延長線上時(shí)，如圖2，

∵AB=AC=，∠BAC=90°，

∴BC=，

∵CD=1，

∴BD=+1，

∵△ACE≌△ABD，

∴CE=BD=+1，

∵∠BCE=90°，

∴∠ECD=90°，

∴DE=，

綜上所述：DE的長為或．