Question

【題目】如圖，在銳角中，以為直徑的交于點，過點作的切線交邊于點，連結．

（1）求證：．

（2）若，，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OD，如圖，首先利用切線的性質，得；然后利用圓周角定理的推論，得，則；再根據等腰三角形的性質，得，從而得．

（2）過E作于H，如圖，首先由已知，，得和的長度；然后在Rt△ABD中，利用和正切的定義，得的長，在Rt△CDB和Rt△ABD中，根據正切的定義得到和的值，由，即可得的值；設，在Rt△CHE和Rt△DHE中，分別根據、的值和正切的定義，用含x的式子表示出和，再根據的長度關系，列出方程求得x的值，然后在在Rt△DHE中，利用勾股定理即可計算出DE的長．

（1）如圖，連結，

∵是切線，∴OD⊥DE，

∴，

∵是直徑，∴

∴，

∴，

∵，∴，

∴．

（2）如圖，過E作于H，

∵，，∴，，

又∵，

∴在Rt△ABD中，，

∴在Rt△CDB中，；在Rt△ABD中，，

∵，

∴，

設，則在Rt△CHE中，；在Rt△DHE中，，

∵，∴，解得，

∴，，

∴．