Question

已知：如圖，△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點P，且P為BC中點，PD⊥AC于點D．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）求證：AB=AC；
（3）若∠CAB=120°，BC=4，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析：（1）連接OP、AP，根據題意得OP為△ABC的中位線，則OP∥AC，從而得出OP⊥PD；
（2）由OP∥AC，則∠C=∠BPO，從而得出∠C=∠B，則AB=AC；
（3）由∠CAB=120°，得∠B=30°，在Rt△ABP中，利用∠B的余弦值求得⊙O的直徑．

解答：證明：連接OP，AP，
（1）∵P為BC中點，
∴OP∥AC，
∵PD⊥AC，
∴PD⊥OP，
∴PD是⊙O的切線；

（2）∵OP∥AC，
∴∠C=∠BPO，
∵OB=OP，
∴∠B=∠BPO，
∴∠C=∠B，
∴AB=AC；

（3）∵∠CAB=120°，∠C=∠B=30°，
在Rt△ABP中，∵BC=4，
∴BP=2，
∴cos∠B=

PB

AB

，
∴AB=

PB

cos30°

=

2

3 2

=

4

3

3

．

點評：本題考查了切線的判定和性質、圓周角定理，三角函數的定義的綜合運用，是重點內容，要熟練掌握．