Question

如圖，點M是直線上的動點，過點M作MN垂直于軸于點N，軸上是否存在點P，使△MNP為等腰直角三角形，請寫出符合條件的點P的坐標        ．

Answer 1

（0，0），（0，1），（0，），（0，-3）

試題分析：由題意，應分兩類情況討論：當MN為直角邊時和當MN為斜邊時．

解：當M運動到（-1，1）時，ON=1，MN=1，∵MN⊥x軸，所以由ON=MN可知，（0，0）就是符合條件的一個P點；又當M運動到第三象限時，要MN=MP，且PM⊥MN，設點M（x，2x+3），則有-x=-（2x+3），解得x=-3，所以點P坐標為（0，-3）．如若MN為斜邊時，則∠ONP=45°，所以ON=OP，設點M（x，2x+3），則有-x=化簡得-2x=-2x-3，這方程無解，所以這時不存在符合條件的P點；又當點M′在第二象限，M′N′為斜邊時，這時N′P=M′P，∠M′N′P=45°，設點M′（x，2x+3），則OP=ON′，而OP=∴有-x=解得x=，這時點P的坐標為（0，）．因此，其他符合條件的點P坐標是（0，0），（0，），（0，-3）．故本題答案為：（0，0），（0，），（0，-3）
點評：本題主要采用分類討論法，來求得符合條件的點P坐標