Question

【題目】定義：如圖1，在△ABC和△ADE中，AB=AC=AD=AE，當∠BAC+∠DAE=180°時，我們稱△ABC與△DAE互為“頂補等腰三角形”，△ABC的邊BC上的高線AM叫做△ADE的“頂心距”，點A叫做“旋補中心”．

特例感知：

（1）在圖2，圖3中，△ABC與△DAE互為“頂補三角形”，AM，AN是“頂心距”．

①如圖2，當∠BAC=90°時，AM與DE之間的數量關系為AM=　　DE；

②如圖3，當∠BAC=120°，BC=6時，AN的長為　　．

猜想論證：

（2）在圖1中，當∠BAC為任意角時，猜想AM與DE之間的數量關系，并給予證明．

拓展應用

（3）如圖4，在四邊形ABCD，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，CD=2，在四邊形ABCD的內部是否存在點P，使得△PAD與△PBC互為“頂補等腰三角形”？若存在，請給予證明，并求△PBC的“頂心距”的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①； ②3；（2）見解析;（3）見解析.

【解析】

（1）①只要證明△BAC≌△EAD，推出BC=DE，由AM⊥BC，推出BM=CM，推出AM=BC=DE；

②只要證明△AMC≌△DNA，即可解決問題；

（2）結論：DE=2AM，只要證明△AMC≌△DNA即可；

（3）如圖4中，結論：存在．連接AC，取AC的中點P，連接PD、PB、作PM⊥BC于M．點P即為所求的點；

（1）①如圖2中，

∵AB=AC=AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，

∴△BAC≌△EAD，

∴BC=DE，

∵AM⊥BC，

∴BM=CM，

∴AM=BC=DE．

故答案為．

②如圖3中，

∵∠BAC=120°，AB=AC，AM⊥BC，

∴∠CAM=60°，BM=CM=3

∵∠BAC+∠EAD=180°，

∴∠EAD=60°，

∵AE=AD，

∴△EAD是等邊三角形，

∴∠D=60°，

∴∠AMC=∠AND=90°，∠CAM=∠D，AC=AD，

∴△AMC≌△DNA，

∴AN=CM=3，

故答案為3．

（2）如圖1中，結論：DE=2AM．

∵AD=AE，AN⊥DE，

∴EN=DN，∠DAN=∠NAE，同法可證：∠CAM=∠BAM，

∵∠BAC+∠EAD=180°，

∴∠DAN+∠CAM=90°，

∵∠CAM+∠C=90°，

∴∠DAN=∠C，

∵∠AND=∠AMC=90°，AC=DA，

∴△AMC≌△DNA，

∴AM=DN，

∴DE=2AM．

（3）如圖4中，結論：存在．

理由：連接AC，取AC的中點P，連接PD、PB、作PM⊥BC于M．

∵AD=AB，CD=CB，AC=AC，

∴△ABC≌△ADC，

∴∠ADC=∠ABC=90°，∠DAC=∠BAC=30°，

∴∠ACD=∠ACB=60°，

∵PA=PC，

∴PA=PD=PC=PB，

∴△PCD，△PCB都是等邊三角形，

∴∠CPD=∠CPB=60°，

∴∠APD=120°，

∴∠APD+∠CPB=180°，

∴△APD和△PBC是“頂補等腰三角形”，

在等邊三角形△PBC中，∵BC=PC=PB=2，PM⊥BC，

∴PM=×2=．