Question

【題目】如圖，二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，且關于直線x＝1對稱，點A的坐標為（﹣1，0）．

（1）求二次函數的表達式；

（2）連接BC，若點P在y軸上時，BP和BC的夾角為15°，求線段CP的長度；

（3）當a≤x≤a+1時，二次函數y＝x2+bx+c的最小值為2a，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）CP的長為3﹣或3﹣3；（3）a的值為1﹣或2+．

【解析】

（1）先根據題意得出點B的坐標，再利用待定系數法求解可得；
（2）分點P在點C上方和下方兩種情況，先求出∠OBP的度數，再利用三角函數求出OP的長，從而得出答案；
（3）分對稱軸x=1在a到a+1范圍的右側、中間和左側三種情況，結合二次函數的性質求解可得．

（1）∵點A（﹣1，0）與點B關于直線x＝1對稱，

∴點B的坐標為（3，0），

代入y＝x2+bx+c，得：

，

解得，

所以二次函數的表達式為y＝x2﹣2x﹣3；

（2）如圖所示：

由拋物線解析式知C（0，﹣3），

則OB＝OC＝3，

∴∠OBC＝45°，

若點P在點C上方，則∠OBP＝∠OBC﹣∠PBC＝30°，

∴OP＝OBtan∠OBP＝3×＝，

∴CP＝3﹣；

若點P在點C下方，則∠OBP′＝∠OBC+∠P′BC＝60°，

∴OP′＝OBtan∠OBP′＝3×＝3，

∴CP＝3﹣3；

綜上，CP的長為3﹣或3﹣3；

（3）若a+1＜1，即a＜0，

則函數的最小值為（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，

解得a＝1﹣（正值舍去）；

若a＜1＜a+1，即0＜a＜1，

則函數的最小值為1﹣2﹣3＝2a，

解得：a＝﹣2（舍去）；

若a＞1，

則函數的最小值為a2﹣2a﹣3＝2a，

解得a＝2+（負值舍去）；

綜上，a的值為1﹣或2+．