Question

【題目】如圖，在中，，,點是邊上一動點（不與點重合），以長為半徑的與邊的另一個交點為，過點作于點.

當與邊相切時，求的半徑；

聯結交于點，設的長為，的長為，求關于的函數解析式，并直接寫出的取值范圍；

在的條件下，當以長為直徑的與相交于邊上的點時，求相交所得的公共弦的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）設⊙P與邊BC相切的切點為H，圓的半徑為R，連接HP，則HP⊥BC，cosC=，則sinC=，sinC===，即可求解；

（2）PD∥BE，則＝，即：，即可求解；

（3）證明四邊形PDBE為平行四邊形，則AG=GP=BD，即：AB=DB+AD=AG+AD=4，即可求解．

（1）設⊙P與邊BC相切的切點為H，圓的半徑為R，

連接HP，則HP⊥BC，cosC=，則sinC=，

sinC===，解得：R=；

（2）在△ABC中，AC=BC=10，cosC=，

設AP=PD=x，∠A=∠ABC=β，過點B作BH⊥AC，

則BH=ACsinC=8，

同理可得：

CH=6，HA=4，AB=4，則：tan∠CAB=2BP==，

DA=x，則BD=4-x，

如下圖所示，

PA=PD，∴∠PAD=∠CAB=∠CBA=β，

tanβ=2，則cosβ=，sinβ=，

EB=BDcosβ=（4-x）×=4-x，

∴PD∥BE，

∴＝，即：，

整理得：y=；

（3）以EP為直徑作圓Q如下圖所示，

兩個圓交于點G，則PG=PQ，即兩個圓的半徑相等，則兩圓另外一個交點為D，GD為相交所得的公共弦，

∵點Q時弧GD的中點，

∴DG⊥EP，

∵AG是圓P的直徑，

∴∠GDA=90°，

∴EP∥BD，

由（2）知，PD∥BC，∴四邊形PDBE為平行四邊形，

∴AG=EP=BD，

∴AB=DB+AD=AG+AD=4，

設圓的半徑為r，在△ADG中，

AD=2rcosβ=，DG=，AG=2r，

+2r=4，解得：2r=，

則：DG==10-2，

相交所得的公共弦的長為10-2．