Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=4，E為AD邊上一動點（不與點A重合），AF⊥BE，垂足為F，GF⊥CF，交AB于點G，連接EG．設AE=x，S△BEG=y．

（1）證明：△AFG∽△BFC；

（2）求y與x的函數關系式，并求出y的最大值；

（3）若△BFC為等腰三角形，請直接寫出x的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2y與x的函數關系式為，y的最大值為；

（3）x的值為， 或．

【解析】試題分析：（1）分別證明∠GAF=∠FBC，∠AFG=∠CFB即可證明△AFG∽△BFC；

（2）先求出AG= ，再求出BG=5- ，利用三角形面積公式即可得出y與x的函數關系式，從而求出結果；

（3）分情況進行討論即可得解.

試題解析：（1）證明：在矩形ABCD中，∠ABC=90°．

∴∠ABF+∠FBC=90°．

∵AF⊥BE，

∴∠AFB=90°．

∴∠ABF+∠GAF=90°．

∴∠GAF=∠FBC．

∵FG⊥FC，

∴∠GFC=90°．

∴∠ABF=∠GFC．

∴∠ABF-∠GFB =∠GFC-∠GFB．

即∠AFG=∠CFB．

∴△AFG∽△BFC；

（2）由（1）得△AFG∽△BFC，

∴．

在Rt△ABF中，tan∠ADF=，

在Rt△EAB中，tan∠EBA=，

∴．

∴．

∵BC=AD=4，AB=5，

∴．

∴BG=AB-AG=5- ．

∴．

∴y的最大值為；

（3）x的值為， 或．