Question

【題目】如圖 1，在直角三角形 ABC 中， BAC 90°, AD 為斜邊 BC 上的高線．

（1）求證： AD BD CD ；

（2）如圖 2，過 A 分別作BAD，DAC 的角平分線，交 BC 于 E, M 兩點，過 E 作 AE 的垂線， 交 AM 于 F ．

①當tan C 時，求的值；

② 如圖 3 ，過 C 作 AF 的垂線 CG ，過 G 點作 GN // AD 交 AC 于 M 點， 連接 MN ．若EAD 15°， AB 1，直接寫出 MN 的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②

【解析】

（1）根據直角三角形的性質和同角的余角相等證出∠B=∠DAC，再根據相似三角形的判定定理證出△BDA∽△ADC，列出比例式變形即可得出結論；

（2）①分別過點E、M作EP⊥AB于P，作MQ⊥AC于Q，根據角平分線的性質可得PE=ED，DM=MQ，然后利用tan∠BAD=tanC，可設BD=9a，利用銳角三角函數分別用a表示出ED和DM即可求出結論；

②設NG與CM交于點H，先證出△ABM為等邊三角形，∠GMH=∠AMB=60°，可得AB=AM=BM=1，然后利用銳角三角函數分別求出MH和NH，最后利用勾股定理即可求出結論．

解：（1）∵在直角三角形 ABC 中， BAC 90°, AD 為斜邊 BC 上的高線

∴∠BDA=∠ADC=∠BAC=90°

∴∠B＋∠BAD=90°，∠DAC＋∠BAD=90°

∴∠B=∠DAC

∴△BDA∽△ADC

∴

∴AD BD CD

（2）①分別過點E、M作EP⊥AB于P，作MQ⊥AC于Q

∵AE平分∠BAD，AF平分∠DAC，AD 為斜邊 BC 上的高線，

∴PE=ED，DM=MQ

∵在直角三角形 ABC 中， BAC 90° , tan C

∴∠BAD＋∠DAC=90°，∠C＋∠DAC=90°

∴∠BAD=∠C

∴tan∠BAD=tanC

∴

設BD=9a，則AD=12a，DC=16a，BE=BD－ED=9a－ED，CM=DC－DM=16a－DM

利用勾股定理可得AB=，AC=

∴sinB=，sinC=

∴，

即，

解得：ED=4a，DM=6a

∴==

②設NG與CM交于點H

∵EAD 15°，AE平分∠BAD

∴∠BAD=2∠EAD=30°

∴∠DAC=∠B=90°－∠BAD=60°，∠C=∠BAD=30°

∴BC=2AB=2

∵AM平分∠DAC

∴∠DAM=∠MAC=∠DAC=30°

∴∠BAM=∠BAD＋∠DAM=60°

∴∠AMB=180°－∠BAM－∠B=60°

∴△ABM為等邊三角形，∠GMH=∠AMB=60°

∴AB=AM=BM=1

∴CM=BC－BM=1

∵CG⊥AF，GN∥AD

∴∠CGM=90°，∠GHM=∠ADC=90°

在Rt△MGC中，MG=CM·cos∠GMH=

在Rt△MHG中，MH=MG·cos∠GMH=

∴CH=CM－MH=

在Rt△CNH中，NH=CH·tanC=

根據勾股定理可得MN==