Question

如圖，設(shè)∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）．現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線AB，AC上．從點(diǎn)A₁開(kāi)始，用等長(zhǎng)的小棒依次向右擺放，其中A₁A₂為第一根小棒，且A₁A₂=AA₁．
（1）小棒能無(wú)限擺下去嗎？答：

不能

．（填“能”或“不能”）
（2）若已經(jīng)擺放了3根小棒，則θ₁=

2θ

，θ₂=

3θ

，θ₃=

4θ

；（用含θ的式子表示）
（3）若只能擺放4根小棒，求θ的范圍．

Answer 1

分析：（1）由于小棒的長(zhǎng)度一定，依此即可求解；
（2）根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠BAC=∠AA₂A₁，∠A₂A₁A₃=∠A₂A₃A₁，∠A₃A₂A₄=∠A₃A₄A₂，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和列式計(jì)算即可得解；
（3）求出第三根小木棒構(gòu)成的三角形，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)列出不等式組求解即可．

解答：解：（1）小棒不能無(wú)限擺下去；

（2）∵小木棒長(zhǎng)度都相等，
∴∠BAC=∠AA₂A₁，∠A₂A₁A₃=∠A₂A₃A₁，∠A₃A₂A₄=∠A₃A₄A₂，
由三角形外角性質(zhì)，θ₁=2θ，θ₂=3θ，θ₃=4θ；

（3）∵只能擺放4根小木棒，
∴

4θ+4θ＜180° 5θ≥90°

，
解得18°≤θ＜22.5°．
故答案為：不能；2θ，3θ，4θ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，（3）列出不等式組是解題的關(guān)鍵．