Question

【題目】如圖，已知△ABC是等邊三角形，以AB為直徑作⊙O，交BC邊于點D，交AC邊于點F，作DE⊥AC于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若△ABC的邊長為4，求EF的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）1

【解析】試題分析：（1）連接OD，根據等邊三角形的性質求出∠ODE=90°，根據切線的判定定理證明即可；

（2）連接AD，BF，根據等邊三角形的性質求出DC、CF，根據直角三角形的性質求出EC，結合圖形計算即可．

試題解析：（1）如圖1，連接OD，∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°．

∵OB=OD，∴∠ODB=∠B=60°．∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°．

∴∠EDC=30°．∴∠ODE=90°．∴DE⊥OD于點D．∵點D在⊙O上，

∴DE是⊙O的切線；

（2）如圖2，連接AD，BF，∵AB為⊙O直徑，∴∠AFB=∠ADB=90°．∴AF⊥BF，AD⊥BD．

∵△ABC是等邊三角形，∴，．

∵∠EDC=30°，∴．∴FE=FC﹣EC=1．