Question

【題目】問題提出：

如圖所示，有三根針和套在一根針上的若干金屬片，按下列規則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上．

a．每次只能移動1個金屬片；

b．較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面．

把個金屬片從1號針移到3號針，最少移動多少次？

問題探究：為了探究規律，我們采用一般問題特殊化的方法，先從簡單的情形入手，再逐次遞進，最后得出一般性結論．

探究一：當時，只需把金屬片從1號針移到3號針，用符號表示，共移動了1次．

探究二：當時，為了避免將較大的金屬片放在較小的金屬片上面，我們利用2號針作為“中間針”，移動的順序是：

a．把第1個金屬片從1號針移到2號針；

b．把第2個金屬片從1號針移到3號針；

c．把第1個金屬片從2號針移到3號針．

用符號表示為：，，．共移動了3次．

探究三：當時，把上面兩個金屬片作為一個整體，則歸結為的情形，移動的順序是：

a．把上面兩個金屬片從1號針移到2號針；

b．把第3個金屬片從1號針移到3號針；

c．把上面兩個金屬片從2號針移到3號針．

其中（1）和（3）都需要借助中間針，用符號表示為：

，，，，，，．共移動了7次．

（1）探究四：請仿照前面步驟進行解答：當時，把上面3個金屬片作為一個整體，移動的順序是：___________________________________________________．

（2）探究五：根據上面的規律你可以發現當時，需要移動________次．

（3）探究六：把個金屬片從1號針移到3號針，最少移動________次．

（4）探究七：如果我們把個金屬片從1號針移到3號針，最少移動的次數記為，當時如果我們把個金屬片從1號針移到3號針，最少移動的次數記為，那么與的關系是__________．

Answer 1

【答案】（1）當時，移動順序為：（1,2），（1,3），（2,3），（1,2），（3,1），（3,2），（1,2），（1,3），（2,3），（2,1），（3,1），（2,3），（1,2），（1,3），（2,3）．

（2），（3），（4）

【解析】

根據移動方法與規律發現，隨著盤子數目的增多，都是分兩個階段移動，用盤子數目減1的移動次數都移動到2柱，然后把最大的盤子移動到3柱，再用同樣的次數從2柱移動到3柱，從而完成，然后根據移動次數的數據找出總的規律求解即可．

解：（1）當時，把上面3個金屬片作為一個整體，移動的順序是：

（1,2），（1,3），（2,3），（1,2），（3,1），（3,2），（1,2），（1,3），（2,3），（2,1），（3,1），（2,3），（1,2），（1,3），（2,3）．

故答案為：（1,2），（1,3），（2,3），（1,2），（3,1），（3,2），（1,2），（1,3），（2,3），（2,1），（3,1），（2,3），（1,2），（1,3），（2,3）．

（2）解：設 是把n個盤子從1柱移到3柱過程中移動盤子之最少次數

n=1時，f（1）=1；

n=2時，小盤→2柱，大盤→3柱，小柱從2柱→3柱，完成，即

n=3時，小盤→3柱，中盤→2柱，小盤從3柱→2柱，大盤從1柱→3柱，小盤從2柱→1柱，中盤從2柱→3柱，小盤從1柱→3柱，完成．

[用種方法把中、小兩盤移到2柱，大盤3柱；再用 種方法把中、小兩盤從2柱3柱，完成]，

故答案為：

（3）由（2）知：

故答案為：

（4）

故答案為：