Question

【題目】

正方形ABCD邊長為4 cm，點E，M分別是線段AC，CD上的動點，連接DE并延長，交正方形ABCD的邊于點F，過點M作MN⊥DF于H，交AD于N．

（1）如圖1，若點M與點C重合，求證：DF=MN；

（2）如圖2，若點M從點C出發，以1cm/s的速度沿CD向點D運動，點E同時從點A出發，以cm/s速度沿AC向點C運動，運動時間為t（t＞0）；

①當點F是邊AB的中點時，求t的值；

②連結FM，FN，當t為何值時△MNF是等腰三角形（直接寫出t值）.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）t=；②t=2或t=4.

【解析】

試題分析：（1）先判定△ADF≌△DNC，即可得到結論；

（2）①當點F是AB中點時，由比例式，計算即可，②先表示出AF，DN=CM=t，AN=DM=4-t，再分三種情況計算．

試題解析：（1）證明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°.

∴∠ADF=∠DCN.

在△ADF與△DNC中，

∴△ADF≌△DNC（ASA）. 2分

∴DF=MN.

（2）①當點F是邊AB中點時，則AF=AB=2.

由題意可知，CM=t，AE=t，CE=4－t

∵AB∥CD，

∴△AEF∽△CED.

∴.

即

∴t=

②t=2或t=4.

詳細解答過程如下：

∵△AEF∽△CED.

∴

∴

∴AF=

易證△MND∽△DFA，

∴，

∴，解得ND=t.

∴DN=CM=t，AN=DM=4－t

若△MNF為等腰三角形，則可能有三種情形：

(ⅰ) 若FN=FM，由MN⊥DF知，FD為NM的垂直平分線，∴DN=DM

即t=4－t，∴t=2（此時點F與點B重合）

（ⅱ）若FM=MN，顯然此時點F在BC邊上，如圖所示，

由∠NDM=∠MCF，ND=MC，FM=MN

可得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=4－t.

由△NDM∽△DCF，可得

∴，∴t=4（此時點F與點C重合）

（ⅲ）若FN=MN，如圖所示，

由∠FAN=∠NDM，AN=DM，FN=MN

可得△FAN≌△NDM，∴AF=DN，即=t，

解得t=0（此時點F與點A重合）

∵t＞0，∴不符合題意，∴此種情形不存在.

綜上所述，當t=2或t=4時，△MNF能夠成為等腰三角形.