Question

（1）觀察與發現：將矩形紙片AOCB折疊，使點C與點A重合，點B落在點B′處(如圖)，折痕為EF．小明發現△AEF為等腰三角形，你同意嗎？請說明理由．

（2）實踐與應用：以點O為坐標原點，分別以矩形的邊OC、OA為x軸、y軸建立如圖所示的直角坐標系，若頂點B的坐標為（9，3），請求出折痕EF的長及EF所在直線的函數關系式．

Answer 1

（1）同意，理由見解析；（2），y=3x-12．

解析試題分析：（1）同意．
理由：因為AB∥OC，所以∠AEF=∠EFC．根據折疊性質，有∠AFE=∠EFC．所以∠AEF=∠AFE，AE=AF．△AEF為等腰三角形．
（2）過點E作EG⊥OC于點G．設OF=x，則CF=9-x；由折疊可知：AF=9-x．
在Rt△AOF中，AF²=AO²+OF²即：3²+x²=（9-x）²，解得x=4，AE=AF=9-x=5，FG=OG-OF=5-4=1．在Rt△EFG中，EF²=EG²+FG²=10，求出EF＝
設直線EF的解析式為y=kx+b（k≠0），因為點E（5，3）和點F（4，0）在直線EF上，所以，代入解得解得k，b，進而求出解析式.
試題解析：（1）同意．
理由：∵AB∥OC，∴∠AEF=∠EFC．
根據折疊性質，有∠AFE=∠EFC．
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF．
∴△AEF為等腰三角形．
（2）過點E作EG⊥OC于點G．
設OF=x，則CF=9-x；
由折疊可知：AF=9-x．
在Rt△AOF中，AF²=AO²+OF²
∴3²+x²=（9-x）²，
∴x=4，9-x=5．
∴AE=AF=5，
∴FG=OG-OF=5-4=1．
在Rt△EFG中，
EF²=EG²+FG²=10，
∴EF＝
設直線EF的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵點E（5，3）和點F（4，0）在直線EF上，
∴3=5k+b，0=4k+b，
解得:k=3，b=-12．
∴y=3x-12．
考點：1.折疊問題.2.一次函數的解析式.3.勾股定理.