Question

如圖，在直角坐標系中，⊙A的半徑為4，A的坐標為（2，0），⊙A與x軸交于E、F兩點，與y軸交于C、D兩點，過C點作⊙A的切線BC交x軸于B．
（1）求直線BC的解析式；
（2）若一拋物線與x軸的交點恰為⊙A與x軸的兩個交點，且拋物線的頂點在直線上y=

3

3

x+2

3

上，求此拋物線的解析式；
（3）試判斷點C是否在拋物線上，并說明理由．

Answer 1

（1）連接AC，因為BC為⊙A的切線，
則AC=4，OA=2，∠ACB=90°
又因為∠AOC=90°，
所以∠OCA=30°，∠A=60°，∠B=30度．
所以OC=OA•tan60°=2

3

，OB=OC•cot30°=2

3

×

3

=6，
所以B（-6，0），C（0，2

3

）．
設直線BC的解析式為y=kx+2

3

，
則0=-6k+2

3

解得k=

3

3

，
所以y=

3

3

x+2

3

．

（2）因為AE=4，OA=2，
所以OE=2，OF=6，
則E（-2，0），F（6，0）．
設拋物線的解析式是y=（9x+2）（x-6），
則y=a（x-2）²-16a，
所以頂點坐標是（2，-16a）．
因為（2，-16a）在直線y=

3

3

x+2

3

上，
所以-16a=

2 3

3

+2

3

，a=-

3

6

．
所以y=-

3

6

x²+

2 3

3

x+2

3

．

（3）當x=0時，y=2

3

．故點C在拋物線上．