Question

【題目】如圖1，圓O的兩條弦AC、BD交于點E，兩條弦所成的銳角或者直角記為∠α

（1）點點同學通過畫圖和測量得到以下近似數據：

的度數	30.2°	40.4°	50.0°	61.6°
的度數	55.7°	60.4°	80.2°	100.3°
∠α的度數	43.0°	50.2°	65.0°	81.0°

猜想： 、、∠α的度數之間的等量關系，并說明理由﹒

（2）如圖2，若∠α＝60°，AB＝2，CD＝1，將以圓心為中心順時針旋轉，直至點A與點D重合，同時B落在圓O上的點，連接CG﹒

①求弦CG的長；

②求圓O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）∠α＝（的度數+ 的度數），見解析；（2）①，②

【解析】

（1）連接BC，如圖1，先利用三角形外角性質得到∠α＝∠B+∠C，再利用圓周角與它所對弧的度數之間的關系得到∠B＝的度數，∠C＝的度數，所以∠α＝（的度數+ 的度數）；

（2）①連接OG、OC、AG，作OH⊥CG于H，GF⊥CD于F，如圖2，利用旋轉的性質得，AB＝DG＝2，利用由（1）的結論得到的度數為120°，則∠COG＝120°，

關鍵圓周角定理計算出∠CDG＝120°，則∠GDF＝60°，于是通過解直角三角形可計算出CG的長；

②利用垂徑定理得到CH＝GH＝，然后通過解直角三角形求出OG即可．

解：（1）∠α＝（的度數+ 的度數）

理由如下：連接BC，如圖1，

∠α＝∠B+∠C，

而∠B＝的度數，∠C＝的度數，

∴∠α＝（的度數+ 的度數）；

（2）①連接OG、OC、AG，作OH⊥CG于H，GF⊥CD于F，如圖2，

∵將 以圓心為中心順時針旋轉，直至點A與點D重合，同時B落在圓O上的點G，

∴，AB＝DG＝2，

由（1）得的度數+的度數＝2∠α＝120°，

的度數+的度數＝2∠α＝120°，

即的度數為120°，

∴∠COG＝120°，

∴∠CAG＝60°，

而∠CAG+∠CDG＝120°，

∴∠CDG＝120°，

∴∠GDF＝60°，

在Rt△GDF中，DF＝DG＝1，GF＝DF＝，

在Rt△CFG中，CG；

②∵OH⊥CG，

∴CH＝GH＝CG＝，

∵∠OGH＝（180°﹣120°）＝30°，

∴，

∴OG＝2OH＝，

即圓O的半徑為．