Question

15．數學問題：如圖1，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的n等分線分別交于點O₁、O₂、…、O_n-1，求∠BO_n-1C的度數？

問題探究：我們從較為簡單的情形入手．
探究一：如圖2，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的角平分線分別交于點O₁，求∠BO₁C的度數？
解：由題意可得∠O₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠O₁CB=$\frac{1}{2}$∠ACB
∴∠O₁BC+∠O₁CB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-α）
∴∠BO₁C=180°-$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°+$\frac{1}{2}$α．
探究二：如圖3，∠A=α，∠ABC、∠ACB三等分線分別交于點O₁、O₂，求∠BO₂C的度數．
解：由題意可得∠O₂BC=$\frac{2}{3}$∠ABC，∠O₂CB=$\frac{2}{3}$∠ACB
∴∠O₂BC+∠O₂CB=$\frac{2}{3}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{2}{3}$（180°-α）
∴∠BO₂C=180°-$\frac{2}{3}$（180°-α）=60°+$\frac{2}{3}$α．
探究三：如圖4，∠A=α，∠ABC、∠ACB四等分線分別交于點O₁、O₂、O₃，求∠BO₃C的度數．
（仿照上述方法，寫出探究過程）
問題解決：如圖1，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的n等分線分別交于點O₁、O₂、…、O_n-1，求∠BO_n-1C的度數．
問題拓廣：
如圖2，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點O₁，兩條角平分線構成一角∠BO₁C．
得到∠BO₁C=90°+$\frac{1}{2}$α．
探究四：如圖3，∠A=α，∠ABC、∠ACB三等分線分別交于點O₁、O₂，四條等分線構成兩個角∠BO₁C，∠BO₂C，則∠BO₂C+∠BO₁C=180°+α．
探究五：如圖4，∠A=α，∠ABC、∠ACB四等分線分別交于點O₁、O₂、O₃，六等分線構成兩個角∠BO₃C，∠BO₂C，∠BO₁C，則∠BO₃C+∠BO₂C+∠BO₁C=270°+$\frac{3}{2}$α．
探究六：如圖1，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的n等分線分別交于點O₁、O₂、…、O_n-1，（2n-2））等分線構成（n-1）個角∠BO_n-1C…∠BO₃C，∠BO₂C，∠BO₁C，則∠BO_n-1C+…∠BO₃C+∠BO₂C+∠BO₁C=（n-1）（90°+$\frac{1}{2}$α）．

Answer 1

分析 探究三：借助探究一，二找出規律，即可得出結論；
問題解決：借助探究一，二，三找出規律即可得出結論；
探究四：借助問題解決的方法即可得出結論；
探究五：同探究四的方法即可；
探究六：同探究四的方法即可．

解答 解：探究三：由題意可得∠O₃BC=$\frac{3}{4}$∠ABC，∠O₃CB=$\frac{3}{4}$∠ACB
∴∠O₃BC+∠O₃CB=$\frac{3}{4}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{3}{4}$（180°-α）
∴∠BO₃C=180°-$\frac{3}{4}$（180°-α）=$\frac{90°}{2}$+$\frac{3}{4}$α．
問題解決：由題意可得∠O_n-1BC=$\frac{n-1}{n}$∠ABC，∠O_n-1CB=$\frac{n-1}{n}$∠ACB
∴∠O_n-1BC+∠O_n-1CB=$\frac{n-1}{n}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{n-1}{n}$（180°-α）
∴∠BO_n-1C=180°-$\frac{n-1}{n}$（180°-α）=$\frac{180°}{n}$+$\frac{n-1}{n}$α．
探究四：由題意可得∠O₁BC=$\frac{1}{3}$∠ABC，∠O₁CB=$\frac{1}{3}$∠ACB
∴∠O₁BC+∠O₁CB=$\frac{1}{3}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{3}$（180°-α）
∴∠BO₁C=180°-$\frac{1}{3}$（180°-α）=120°+$\frac{1}{3}$α．
由探究二得，∠BO₂C=60°+$\frac{2}{3}$α．
∴∠BO₂C+∠BO₁C=60°+$\frac{2}{3}$α+120°+$\frac{1}{3}$α=180°+α．
故答案為：180°+α；
探究五：由題意可得∠O₁BC=$\frac{1}{4}$∠ABC，∠O₁CB=$\frac{1}{4}$∠ACB
∴∠O₁BC+∠O₁CB=$\frac{1}{4}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{4}$（180°-α）
∴∠BO₁C=180°-$\frac{1}{4}$（180°-α）=135°+$\frac{1}{4}$α．
由題意可得∠O₂BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠O₂CB=$\frac{1}{2}$∠ACB
∴∠O₂BC+∠O₂CB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-α）
∴∠BO₂C=180°-$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°+$\frac{1}{2}$α．
由題意可得∠O₃BC=$\frac{3}{4}$∠ABC，∠O₃CB=$\frac{3}{4}$∠ACB
∴∠O₃BC+∠O₃CB=$\frac{3}{4}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{3}{4}$（180°-α）
∴∠BO₃C=180°-$\frac{3}{4}$（180°-α）=45°+$\frac{3}{4}$α．
∴∠BO₃C+∠BO₂C+∠BO₁C=45°+$\frac{3}{4}$α+90°+$\frac{1}{2}$α+135°+$\frac{1}{4}$α=270°+$\frac{3}{2}$α．
故答案為270°+$\frac{3}{2}$α．
探究六：由題意可得∠O₁BC=$\frac{1}{n}$∠ABC，∠O₁CB=$\frac{1}{n}$∠ACB
∴∠O₁BC+∠O₁CB=$\frac{1}{n}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{n}$（180°-α）
∴∠BO₁C=180°-$\frac{1}{n}$（180°-α）=$\frac{n-1}{n}$•180°+$\frac{1}{n}$α．
由題意可得∠O₂BC=$\frac{2}{n}$∠ABC，∠O₂CB=$\frac{2}{n}$∠ACB
∴∠O₂BC+∠O₂CB=$\frac{2}{n}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{2}{n}$（180°-α）
∴∠BO₂C=180°-$\frac{2}{n}$（180°-α）=$\frac{n-2}{n}$•180°+$\frac{2}{n}$α．
由題意可得∠O₃BC=$\frac{3}{n}$∠ABC，∠O₃CB=$\frac{3}{n}$∠ACB
∴∠O₃BC+∠O₃CB=$\frac{3}{n}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{3}{n}$（180°-α）
∴∠BO₃C=180°-$\frac{3}{n}$（180°-α）=$\frac{n-3}{n}$•180°+$\frac{3}{n}$α．
       …
由問題解決得，∠BO_n-1C=$\frac{180°}{n}$+$\frac{n-1}{n}$α．
∴∠BO_n-1C+…∠BO₃C+∠BO₂C+∠BO₁C
=$\frac{180°}{n}$+$\frac{n-1}{n}$α+…+$\frac{n-3}{n}$•180°+$\frac{3}{n}$α+$\frac{n-2}{n}$•180°+$\frac{2}{n}$α+$\frac{n-1}{n}$•180°+$\frac{1}{n}$α
=（$\frac{1}{n}$+$\frac{2}{n}$+…$\frac{n-3}{n}$+$\frac{n-2}{n}$+$\frac{n-1}{n}$）•180°+（$\frac{n-1}{n}$+$\frac{n-2}{n}$+…+$\frac{3}{n}$+$\frac{2}{n}$+$\frac{1}{n}$）•α
=（$\frac{1}{n}$+$\frac{2}{n}$+…$\frac{n-3}{n}$+$\frac{n-2}{n}$+$\frac{n-1}{n}$）•（180°+α）
=$\frac{1}{2}$（n-1）•（180°+α）
=（n-1）（90°+$\frac{1}{2}$α）．
故答案為：（n-1）（90°+$\frac{1}{2}$α）．

點評 此題以三角形的內角和為背景，考查了角等分線，前（n-1）個正整數的和的計算方法，提取公因式，體現了類比的思想，解本題的關鍵是找出規律，解此類題目的方法時，從簡單到復雜的過程中，尋找規律．