Question

【題目】如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求的面積；

（3）若點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在平面上，是否存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）存在，，，，

【解析】

（1）把已知兩點(diǎn)代入解析式轉(zhuǎn)換為方程求解即可;

（2）把分為軸上下兩部分, 設(shè)直線與軸交于點(diǎn),兩部分三角形可以看作同一個(gè)底邊,所以求出長度,再按照三角形面積公式計(jì)算即可.

（3） 為平面上任意點(diǎn),欲使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形,根據(jù)菱形的性質(zhì),菱形的一半必須為等腰三角形,經(jīng)作圖嘗試,有四種情況,分別按照, , 解答即可.

解：（1）把,代入解析式

可得,

解得,

所以拋物線解析式為:.

令,

解得: ,

,.

（2）如圖,

設(shè)直線的解析式為,與軸交于點(diǎn),

把代入解析式可得,

解得: ,

所以直線為: ,

令,

解得: ,故點(diǎn),

.

（3）如圖,

直線解析式為,

可設(shè),

且.

第一種情況,當(dāng)時(shí),

解得: ,

所以, 或.

第二種情況,當(dāng)時(shí),

解得: ,

所以, .

第三種情況,當(dāng)時(shí)

解得: ,

所以,

綜上所述,這樣的點(diǎn)存在，有四個(gè),分別是，，，