Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2﹣（k+1）x+k與x軸相交于A、B兩點（點B位于點A的左側），與y軸相交于點C．
（1）如圖1，若k=2，直接寫出AB的長：AB= ．

（2）若AB=2，則k的值為 ．
（3）如圖2，若k=﹣3，

①求直線BC的解析式；
（4）如圖3，若k＜0，且△ABC是等腰三角形，求k的值．

Answer 1

【答案】
（1）1
（2）﹣1或3
（3）

當k=﹣3時，y=x2+2x﹣3，

令x=0得：y=﹣3，令y=0得：x2+2x﹣3=0，解得：x=﹣3或x=1，

∴A（1，0）、B（﹣3，0）、C（0，﹣3）．

設直線BC的解析式的y=kx+b，將點B和點C的解析式代入得： ，解得：k=﹣1，b=﹣3

②點P是直線BC下方拋物線上的一個動點，試求△PBC的面積的最大值及此時點P的坐標

如圖1所示：過點P作PD⊥x軸，垂足為D，PD交直線BC與點E．

設P（x，x2+2x﹣3），則點E（x，﹣x﹣3）．

∴PE=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2+3x．

∴△BCP的面積=△PEB的面積+△PEC的面積= PEBD+ PEOD= PEOB= ×3×（﹣x2+3x）=﹣ （x+ ）2+ ．

∴當x=﹣ 時，△PBC的面積取得最大值，最大面積為 ，此時點P的坐標為（﹣ ，﹣ ）

（4）

∵y=x2﹣（k+1）x+k=（x﹣1）（x﹣k），k＜0，

∴A（1，0），B（k，0）、C（0，k）．

∴OA=1，OB=OC=﹣k．

∴AB=1﹣k，BC=﹣ k，AC= ．

當AB=BC時，有1﹣k=﹣ k，解得：k=﹣ ﹣1．

當AB=AC時，有1﹣k= ，解得k=0（舍去），

當BC=AC時，有﹣ k= ，整理得：k2=1，解得：k=﹣1或k=1（舍去）．

綜上所述，△ABC是等腰三角形時，k的值為﹣ ﹣1或﹣1

【解析】解：（1.）把k=2代入得：y=x2﹣3x+2，
令y=0得：x2﹣3x+2=0，
解得x=2或x=1，
∴A（2，0），B（1，0）．
∴AB=1．
所以答案是：1．
（2.）令y=0得：x2﹣（k+1）x+k=0，則（x﹣1）（x﹣k）=0，
解得x=1或x=k．
當點A的坐標為（1，0）時．
∵AB=2，
∴B（﹣1，0）．
∴k=﹣1．
當點B的坐標為（1，0）時，
∵AB=2，
∴B（3，0）．
∴k=3．
∴k的值為﹣1或3．
所以答案是：﹣1或3
【考點精析】認真審題，首先需要了解二次函數的性質(增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小)．