Question

【題目】（提高題） 如圖所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分線BD交AC于點D，CH⊥AB于H，且交BD于點F，DE⊥AB于E，四邊形CDEF是菱形嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】是菱形，理由見解析

【解析】

利用“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”證明四邊形CDEF是菱形即可．根據角平分線的性質先證明CD=DE，再證明四邊形CDEF為平行四邊形．

∵AC⊥BC，CH⊥AB；

∴∠ABC+∠6=90°, ∠ABC+∠A=90°,

∴∠A=∠6；

又∵BD平分∠ABC，

∴∠1=∠2；

又∵DE⊥AB，CD⊥BC，

∴DE=CD；

∵∠5=∠1＋∠6,∠4=∠2＋∠A；

∴∠5=∠4,

∴CF=CD,

∴CF=DE.

∵CH⊥AB，DE⊥AB，

∴CF∥DE，

∴四邊形CDEF為平行四邊形.

又∵CD=DE，

∴平行四邊形CDEF為菱形.