Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，給出以下五個結論：①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EPF是等腰直角三角形；④EF=AP；⑤．當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與點A、B重合），上述結論中始終正確的序號有 ．

Answer 1

【答案】①②③⑤

【解析】試題分析：根據等腰直角三角形的性質可得AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，根據同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，判定②正確，然后利用“角邊角”證明△APE和△CPF全等，根據全等三角形的可得AE=CF，判定①正確，再根據等腰直角三角形的定義得到△EFP是等腰直角三角形，判定③正確；根據等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的倍表示出EF，可知EF隨著點E的變化而變化，判定④錯誤，根據全等三角形的面積相等可得△APE的面積等于△CPF的面積相等，然后求出四邊形AEPF的面積等于△ABC的面積的一半，判定⑤正確．

試題解析：∵AB=AC，∠BAC=90°，點P是BC的中點，

∴∠EAP=∠BAC=45°，AP=BC=CP．

①在△AEP與△CFP中，

∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°-∠APF，

∴△AEP≌△CFP，

∴AE=CF．正確；

②由①知，△AEP≌△CFP，

∴∠APE=∠CPF．正確；

③由①知，△AEP≌△CFP，

∴PE=PF．

又∵∠EPF=90°，

∴△EPF是等腰直角三角形．正確；

④只有當F在AC中點時EF=AP，故不能得出EF=AP，錯誤；

⑤∵△AEP≌△CFP，同理可證△APF≌△BPE．

∴S四邊形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=S△ABC．正確．

故正確的序號有①②③⑤