Question

【題目】如圖，已知△ABC是面積為 的等邊三角形，△ABC∽△ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC與DE相交于點F，則△AEF的面積等于（結果保留根號）．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵△ABC∽△ADE，AB=2AD， ∴ = ，
∵AB=2AD，S△ABC= ，
∴S△ADE= ，
如圖，在△EAF中，過點F作FH⊥AE交AE于H，
∵∠EAF=∠BAD=45°，∠AEF=60°，
∴∠AFH=45°，∠EFH=30°，
∴AH=HF，
設AH=HF=x，則EH=xtan30°= x．
又∵S△ADE= ，
作CM⊥AB交AB于M，
∵△ABC是面積為 的等邊三角形，
∴ ×AB×CM= ，
∠BCM=30°，
設AB=2k，BM=k，CM= k，
∴k=1，AB=2，
∴AE= AB=1，
∴x+ x=1，
解得x= = ．
∴S△AEF= ×1× = ．
所以答案是： ．

【考點精析】認真審題，首先需要了解等邊三角形的性質(等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°)，還要掌握相似三角形的性質(對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形)的相關知識才是答題的關鍵．