Question

【題目】若一個三角形一條邊的平方等于另兩條邊的乘積，我們把這個三角形叫做比例三角形．

（1）已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，請直接寫出所有滿足條件的AC的長；

（2）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，對角線BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC．

①求證：△ABC∽△DCA；②求證：△ABC是比例三角形；

（3）如圖2，在（2）的條件下，當∠ADC＝90°時，求出的值．

Answer 1

【答案】（1）AC＝或或；（2）①見解析；②見解析；（3）＝．

【解析】

（1）根據比例三角形的定義分AB2＝BCAC、BC2＝ABAC、AC2＝ABBC三種情況分別代入計算可得；

（2）①先判斷出∠ACB＝∠CAD，得出△ABC∽△DCA；

②由△ABC∽△DCA得出CA2＝BCAD，再由∠ADB＝∠CBD＝∠ABD知AB＝AD即可得；

（3）作AH⊥BD，由AB＝AD知，BH＝BD，再證△ABH∽△DBC得ABBC＝BHDB，即ABBC＝BD2，結合ABBC＝AC2推出BD2＝AC2，據此可得答案．

解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB＝2、BC＝3，

①當AB2＝BCAC時，得：4＝3AC，解得：AC＝；

②當BC2＝ABAC時，得：9＝2AC，解得：AC＝；

③當AC2＝ABBC時，得：AC2＝6，解得：AC＝（負值舍去）；

所以當AC＝或或時，△ABC是比例三角形；

（2）①∵AD∥BC，

∴∠ACB＝∠CAD，

又∵∠BAC＝∠ADC，

∴△ABC∽△DCA，

②由①知，△ABC∽△DCA，

∴，即CA2＝BCAD，

∵AD∥BC，

∴∠ADB＝∠CBD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠CBD，

∴∠ADB＝∠ABD，

∴AB＝AD，

∴CA2＝BCAB，

∴△ABC是比例三角形；

（3）如圖，過點A作AH⊥BD于點H，

∵AB＝AD，

∴BH＝BD，

∵AD∥BC，∠ADC＝90°，

∴∠BCD＝90°，

∴∠BHA＝∠BCD＝90°，

又∵∠ABH＝∠DBC，

∴△ABH∽△DBC，

∴，即ABBC＝BHDB，

∴ABBC＝BD2，

又∵ABBC＝AC2，

∴BD2＝AC2，

∴＝．