Question

【題目】某商品的進價為每件30元，售價為每件40元，每周可賣出180件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每周就會少賣出5件，但每件售價不能高于55元，設每件商品的售價上漲x元(x為整數)，每周的銷售利潤為y元．

(1)求y與x的函數關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；

(2)每件商品的售價為多少元時，每周可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

(3)每件商品的售價定為多少元時，每周的利潤恰好是2145元？

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣5x2+130x+1800(0≤x≤15且x取整數)；(2)當售價為53元時，可獲得最大利潤2645元；(3)售價為43元時，每周利潤為2145元．

【解析】

（1）知道銷售利潤=利潤×銷售數量，結合題意，列出函數；（2）找出函數的對稱軸x ＝13，分析函數中y隨x在對稱軸左右兩側的增減性，得到最大利潤值.（3）將2145代入函數5x2+130x+1800＝y中的y，解函數，得到答案.

(1)由題意得：

y＝(40+x﹣30)(180﹣5x)＝﹣5x2+130x+1800(0≤x≤15且x取整數)

(2)對稱軸：x＝﹣ ＝﹣ ＝13，

∵a＝﹣5＜0，

∴在對稱軸左側，y隨x增大而增大，

∴當x＝13時，y最大值＝﹣5×132+130×13+1800＝2645，

∴售價＝40+13＝53元

答：當售價為53元時，可獲得最大利潤2645元．

(3)由題意得：﹣5x2+130x+1800＝2145

解之得：x＝3或23(不符合題意，舍去)

∴售價＝40+3＝43元．

答：售價為43元時，每周利潤為2145元．