Question

【題目】如圖所示，AB是⊙O的直徑，AM、BN是⊙O的兩條切線，D、C分別在AM、BN上，DC切⊙O于點E，連接OD、OC、BE、AE，BE與OC相交于點P，AE與OD相交于點Q，已知AD=4，BC=9，以下結論：
①⊙O的半徑為 ②OD∥BE ③PB= ④tan∠CEP=
其中正確結論有（ ）

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】C
【解析】解：作DK⊥BC于K，連接OE．
∵AD、BC是切線，
∴∠DAB=∠ABK=∠DKB=90°，
∴四邊形ABKD是矩形，
∴DK=AB，AD=BK=4，
∵CD是切線，
∴DA=DE，CE=CB=9，
在RT△DKC中，∵DC=DE+CE=13，CK=BC﹣BK=5，
∴DK= =12，
∴AB=DK=12，
∴⊙O半徑為6．故①錯誤，
∵DA=DE，OA=OE，
∴OD垂直平分AE，同理OC垂直平分BE，
∴AQ=QE，∵AO=OB，
∴OD∥BE，故②正確．
在RT△OBC中，PB= = = ，故③正確，
∵CE=CB，
∴∠CEB=∠CBE，
∴tan∠CEP=tan∠CBP= = = ，故④正確，
∴②③④正確，
故選C．

本題考查切線的性質、圓周角定理、切線長定理、勾股定理、三角形中位線性質、直角三角形斜邊上的高的求法等知識，解題的關鍵是添加輔助線構造直角三角形解決問題，熟練掌握切線長定理，屬于中考常考題型．作DK⊥BC于K，連接OE，①錯誤，在RT△CDK中，利用勾股定理求得DK=12，故錯誤．②正確．可以證明AQ=QE，AO=OB，由此得出結論．③正確．根據PB= 計算即可．④正確．根據tan∠CEP=tan∠CBP= 計算即可．