Question

【題目】等腰三角形ABC中，AB=AC，點D是AC上一點。點E在BD的延長線上，且AB=AE，AF平分∠CAE交DE于點F，連接CF

（1）如圖1，找到與∠CFB相等的角，并證明

（2）如圖2，如當∠ABC=60°，AF=m，EF=n時，求FB的長（用含m、n的式子表示）

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) m+n.

【解析】

（1）證△EAF≌△CAF，推出EF=CF，∠E=∠ACF，根據等腰三角形性質推出∠E=∠ABF，即可得出答案；
（2）在FB上截取BM=CF，連接AM，證△ABM≌△ACF，推出EF=FC=BM，AF=AM，推出△AMF是等邊三角形，推出MF=AF，即可得出答案；

證明：（1）∠CFB=∠CAB，
∵AF平分∠CAE，
∴∠EAF=∠CAF，
∵AB=AC，AB=AE，
∴AE=AC，
在△ACF和△AEF中，

，
∴△ACF≌△AEF（SAS），
∴∠E=∠ACF，
∵AB=AE，
∴∠E=∠ABE，
∴∠ABE=∠ACF，
∵∠ADB=∠CDF，
∴∠CFB=∠CAB；
（2）如圖2，

∵△ACF≌△AEF，
∴EF=CF，∠E=∠ACF=∠ABM，
在FB上截取BM=CF，連接AM，
在△ABM和△ACF中，

，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM=AF，∠BAM=∠CAF，
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∴∠MAF=∠MAC+∠CAF=∠MAC+∠BAM=∠BAC=60°，
∵AM=AF，
∴△AMF為等邊三角形，
∴AF=AM=MF，
∴AF+EF=BM+MF=FB，
∵AF=m，EF=n，
即FB=m+n.