Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，有“拋物線系”y＝－（x－m）2+4m－3，頂點為點P，這些拋物線的形狀與拋物線 y＝－x2 相同，但頂點位置不同．

（1）填寫下表，并說出：在m取不同數值時，點P位置的變化具有什么特征？

m的值	…	－1	0	1	2	…
點P坐標	…					…

（2）若拋物線的對稱軸是直線x＝1，則可確定m的值．點M（p，q）為此拋物線上的一個動點，且﹣1＜p＜2，而直線y＝kx－4（k≠0）始終經過點M．

①求此拋物線與x軸的交點坐標；

②求k的取值范圍．

（3）若點Q在x軸上，點S（0，－1）在y軸上，點R在坐標平面內，且以點P，Q，R，S為頂點的四邊形是正方形，試直接寫出所有點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）點P的位置始終在同一條直線上；（2）k＜－1或k＞2；（3）點Q的坐標有：（3，0），（－2，0），（，0），（－6，0），（，0），（－，0）.

【解析】

（1）由拋物線系y＝－（x－m）2+4m－3，可得頂點P的坐標為（m，4m-3），把m=-1、0、1、2一次代入4m-3，即可求出相應的縱坐標，結果填表內，通過描點發現點P的位置始終在同一條直線上；（2）①根據對稱軸是直線x＝1，而拋物線頂點式y＝－（x－m）2+4m－3中對稱軸是直線x=m，所以m=1，從而求得拋物線的解析式；把y=0代入解析式即可求出與x軸交點坐標；②因為﹣1＜p＜2，所以把x=-1、2分別代入拋物線的解析式，解得y=-3、0，可得點M在拋物線上點（－1，－3 ），（2，0）之間運動，不包含此兩點，再把此兩點的坐標分別代入直線y＝kx－4（k≠0）可得兩個k的值，從而求得k的取值范圍； （3）根據正方形的性質進行分類討論可得結果.

解：（1）

m的值	…	－1	0	1	2	…
點P坐標	…	（－1，－7）	（0，－3）	（1，1）	（2，5）	…

可通過描點得出：點P的位置始終在同一條直線上；

（2）①∵拋物線的對稱軸為x=1，∴m=1，

∴拋物線的表達式為：y=﹣x2+2x；

當y＝0時，﹣x2+2x＝0，∴x1＝0，x2＝2，

∴拋物線與x軸的交點坐標是：（0，0），（2，0）；

② 當﹣1＜p＜2時，結合圖象，可知點M在運動中的邊界點為：（－1，－3 ），（2，0）；

當過（－1，﹣3）時，代入 y=kx﹣4，k=－1；

當過（2，0）時，代入 y=kx﹣4，k=2；

綜上所述：k＜－1或k＞2；

（3）點Q的坐標有：（3，0），（－2，0），（，0），（－6，0），（，0），（－，0）.

理由：

∵S（0，-1），P(m，4m-3)

∴①當SP為正方形的邊長時，以SP為邊向兩邊作正方形，如圖，易證圖中陰影三角形全等，解得P1（5m-2，3m-3）,由中點公式得P2（2-3m,5m-3）,由全等求得P4（4m-2,-m-1）,P3(2-4m，-1+m).

當P1、P2、P3、P4中有一點落在x軸上時即可滿足條件，

當P1落在x軸上時，3m-3=0，m=1, 此時Q（3,0）

當P2落在x軸上時，5m-3=0，m= ，此時Q（,0）

當P3落在x軸上時，-1+ m=0，m=1，此時Q（-2,0）

當P4落在x軸上時，-m-1=0，m=-1，此時Q（-6,0）

②當SP為對角線時，另外兩點的坐標即為圖中兩正方形的中心坐標，分別為（m-1, m-2）,(1-m，m-2).

當m-2=0時，m=,此時Q（，0）

當m-2時，m=，此時Q（-，0）

綜上所述，Q點坐標為：（3，0），（－2，0），（，0），（－6，0），（，0），（－，0）.