Question

【題目】如圖，△ABC和△ADE中，AB=AD=6，BC=DE，∠B=∠D=30°，邊AD與邊BC交于點P（不與點B，C重合），點B，E在AD異側，I為△APC的內心．
（1）求證：∠BAD=∠CAE；
（2）設AP=x，請用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；
（3）當AB⊥AC時，∠AIC的取值范圍為m°＜∠AIC＜n°，分別直接寫出m，n的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）PD=6-x，3為PD的最大值；（3）m=105，n=150．

【解析】

（1）由條件易證△ABC≌△ADE，得∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．
（2）PD=AD-AP=6-x，∵點P在線段BC上且不與B、C重合，∴AP的最小值即AP⊥BC時AP的長度，此時PD可得最大值．
（3）I為△APC的內心，即I為△APC角平分線的交點，應用“三角形內角和等于180°“及角平分線定義即可表示出∠AIC，從而得到m，n的值．

（1）在△ABC和△ADE中，（如圖1）

，
∴△ABC≌△ADE（SAS）
∴∠BAC=∠DAE
即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE
∴∠BAD=∠CAE．
（2）∵AD=6，AP=x，
∴PD=6-x
當AD⊥BC時，AP=AB=3最小，即PD=6-3=3為PD的最大值．

（3）如圖2，設∠BAP=α，則∠APC=α+30°，
∵AB⊥AC
∴∠BAC=90°，∠PCA=60°，∠PAC=90°-α，
∵I為△APC的內心
∴AI、CI分別平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC=∠PAC，∠ICA=∠PCA
∴∠AIC=180°-（∠IAC+∠ICA）
=180°-（∠PAC+∠PCA）
=180°-（90°-α+60°）
=α+105°
∵0＜α＜90°，
∴105°＜α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，
∴m=105，n=150．