Question

【題目】在中，，點為射線上一個動點（不與重合），以為一邊在的右側作，使，，過點作，交直線于點，連接．

（1）如圖①，若，則按邊分類：是 三角形，并證明；

（2）若．

①如圖②，當點在線段上移動時，判斷的形狀并證明；

②當點在線段的延長線上移動時，是什么三角形？請在圖③中畫出相應的圖形并直接寫出結論（不必證明）．

Answer 1

【答案】（1）等邊；證明見解析；（2）①△EFC為等腰三角形，證明見解析；②△EFC為等腰三角形．

【解析】

（1）根據題意推出∠ACB=∠ABC=60°，然后通過求證△EAC≌△DAB，結合平行線的性質，即可推出△EFC為等邊三角形；

（2）①根據（1）的推理方法，即可推出△EFC為等腰三角形；②根據題意畫出圖形，然后根據平行線的性質，通過求證△EAC≌△DAB，推出等量關系，即可推出△EFC為等腰三角形．

解：（1）如圖1，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，

∴∠ACB=∠ABC=60°，∠EAC=∠DAB，

∴△DAB≌△EAC，

∴∠ECA=∠B=60°，

∵EF∥BC，

∴∠EFC=∠ACB=60°，

∵在△EFC中，∠EFC=∠ECF=60°=∠CEF，

∴△EFC為等邊三角形，

故答案為：等邊；

（2）①△CEF為等腰三角形，

證明：如圖2，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，

∴∠ACB=∠ABC，∠EAC=∠DAB，

∴△EAC≌△DAB，

∴∠ECA=∠B，

∴∠ACE=∠ACB，

∵EF∥BC，

∴∠EFC=∠ACB，

∴∠EFC=∠ACE，

∴CE=FE，

∴△EFC為等腰三角形；

②如圖③，△EFC為等腰三角形．

當點D在BC延長線上時，以AD為一邊在AD的左側作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，過點E作BC的平行線EF，交直線AC的延長線于點F，連接DE．

證明：∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，

∴∠ACB=∠ABC，∠EAC=∠DAB，

∴△EAC≌△DAB，

∴∠ECA=∠DBA，

∴∠ECF=∠ABC，

∵EF∥BC，

∴∠AFE=∠ACB，

又∵∠ABC=∠ACB，

∴∠AFE=∠ECF，

∴EC=EF，

∴△EFC為等腰三角形．