Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=AC，點D在邊AC上，將△ABD繞點B順時針旋轉得到△CBE，連接ED并延長交BA的延長線于點F．

（1）求證：∠CDE=∠ABD；

（2）探究線段AD，CD，BE之間的數量關系，并說明理由；

（3）若AD=1，CD=3，求線段EF的長．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）先判斷出△ABD≌△CBE，進而判斷出∠ABD=∠CDE；
（2）先判斷出△DCE是直角三角形，進而得出DE2=BD2+BE2=2BE2，即可得出結論；
（3）先利用勾股定理求出DE，再判斷出△FAD∽△FDB，得出FD=FA，最后用勾股定理求出FA即可得出結論．

（1）證明：∵∠ABC=90°，AB=BC

∴∠BAC=∠ACB=45°，

∵△ABD繞點B順時針旋轉得到△CBE

∴△ABD≌△CBE，∠DBE=∠ABC=90°，

∴BD=BE，∠BCE=∠BAC=45°．

∴∠BDE=∠BED=45°．

∵∠BDC=∠BAD+∠ABD=∠ABD+45°，∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠CDE+45°，

∴∠ABD=∠CDE．

（2）∵∠ACB=45°，∠BCE=45°，

∴∠DCE=∠ACB+∠BCE=90°．

∴CD2+CE2=DE2，

∵BD=BE，∠DBE=90°，

∴DE2=BD2+BE2=2BE2，

∵△ABD≌△CBE，

∴AD=CE．

∴AD2+CD2=2BE2，

（3）∵AD=1，CD=3，

∴AC=4，BD=BE==．

∵∠DBE=90°，

∴DE==

在Rt△ABC中，AB=ACsin∠ACB=2．

∵∠ABD=∠CDE=∠ADF，∠F=∠F，

∴△FAD∽△FDB．

∴，即

∴FD=FA，FD2=FAFB．

∴（FA）2=FA（FA+2）．解得FA=或FA=0（舍去）

∴FD=FA=．

∴EF=FD+DE=