Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為A（0，a），B（b，a），且a、b滿足（a﹣2）2+|b﹣4|=0，現同時將點A，B分別向下平移2個單位，再向左平移1個單位，分別得到點A，B的對應點C，D，連接AC，BD，AB．

（1）求點C，D的坐標及四邊形ABDC的面積S四邊形ABCD；

（2）在y軸上是否存在一點M，連接MC，MD，使S△MCD=S四邊形ABDC？若存在這樣一點，求出點M的坐標，若不存在，試說明理由；

（3）點P是直線BD上的一個動點，連接PA，PO，當點P在BD上移動時（不與B，D重合），直接寫出∠BAP、∠DOP、∠APO之間滿足的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）M（0，2）或（0，﹣2）；（3）①∠APO=∠DOP+∠BAP；②∠DOP=∠BAP+∠APO；③∠BAP=∠DOP+∠APO．

【解析】

（1）先由非負數性質求出a=2，b=4，再根據平移規律，得出點C，D的坐標，然后根據四邊形ABDC的面積=AB×OA即可求解；

（2）存在．設M坐標為（0，m），根據S△PAB=S四邊形ABDC，列出方程求出m的值，即可確定M點坐標；

（3）分三種情況求解：①當點P在線段BD上移動時，②當點P在DB的延長線上時，③當點P在BD的延長線上時.

解：（1）∵（a﹣2）2+|b﹣4|=0，

∴a=2，b=4，

∴A（0，2），B（4，2）．

∵將點A，B分別向下平移2個單位，再向左平移1個單位，分別得到點A，B的對應點C，D，

∴C（﹣1，0），D（3，0）．

∴S四邊形ABDC=AB×OA=4×2=8；

（2）在y軸上存在一點M，使S△MCD=S四邊形ABCD．設M坐標為（0，m）．

∵S△MCD=S四邊形ABDC，

∴×4|m|=4，

∴2|m|=4，

解得m=±2．

∴M（0，2）或（0，﹣2）；

（3）①當點P在線段BD上移動時，∠APO=∠DOP+∠BAP

理由如下：

過點P作PE∥AB交OA于E．

∵CD由AB平移得到，則CD∥AB，

∴PE∥CD，

∴∠BAP=∠APE，∠DOP=∠OPE，

∴∠BAP+∠DOP=∠APE+∠OPE=∠APO，

②當點P在DB的延長線上時，同①的方法得，∠DOP=∠BAP+∠APO；

③當點P在BD的延長線上時，同①的方法得，∠BAP=∠DOP+∠APO．