Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E是弧AC上的一個動點，過點E的切線與AD交于點M．與CD交于點N．

（1）求證：∠MBN＝45°；

（2）設AM＝x，CN＝y，求y關于x的函數關系式；

（3）設正方形的對角線AC交BM于P，BN于Q，如果AP＝m，CQ＝n，求m與n之間滿足的關系式．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）連接BE，證明Rt△ABM≌Rt△EBM（HL），即可得∠ABM＝∠EBM，再證明Rt△CBN≌Rt△EBN，即可證明∠CBN＝∠EBN，再根據∠ABM+∠EBM+∠EBN+∠CBN＝90°，即可證明∠MBN＝45°.

（2）根據（1）得MN＝x+y，MD＝1﹣x，ND＝1﹣y.再根據勾股定理列方程化簡即可得到y關于x的函數關系式.

（3）根據△ABQ∽△BPQ和△CBP∽△BQP列出相似比，再根據相似比可得 ，代入計算即可.

證明：（1）如圖，連接BE，

∵MN是⊙B的切線

∴BE⊥MN，

∵AB＝BE，BM＝BM

∴Rt△ABM≌Rt△EBM（HL）

∴∠ABM＝∠EBM，

同理可證：Rt△CBN≌Rt△EBN

∴∠CBN＝∠EBN

∵∠ABC＝90°

∴∠ABM+∠EBM+∠EBN+∠CBN＝90°

∴2（∠MBE+∠NBE）＝90°

∴∠MBN＝45°

（2）∵Rt△ABM≌Rt△EBM，Rt△CBN≌Rt△EBN

∴AM＝ME＝x，CN＝NE＝y

∴MN＝x+y，MD＝1﹣x，ND＝1﹣y

∵MD2+ND2＝MN2，

∴（1﹣x）2+（1﹣y）2＝（x+y）2，

∴1﹣2x+1﹣2y＝2xy

∴y＝

（3）∵四邊形ABCD是正方形

∴AB＝BC＝1，∠BAC＝∠ACB＝45°

∴AC＝

∵∠MBN＝∠BAC＝45°，∠AQB＝∠AQB

∴△ABQ∽△BPQ

∴

∴ ①

∵∠MBN＝∠ACB＝45°，∠CPB＝∠BPQ

∴△CBP∽△BQP

∴

∴ ②

由①②得：

∴AC﹣CQ＝

∴﹣n＝

∴m＝