Question

如圖1，已知兩個反比例函數和（k₁＞k₂＞0）在平面直角坐標系xOy第一象限內的圖象如圖所示，動點A在的圖象上，AB∥y軸，與的圖象交于點B，AC、BD都與x軸平行，分別與、的圖象交于點C、D．
（1）用含k₁、k₂的代數式表示四邊形ACOB的面積．
（2）當k₁=8，k₂=2時，
①若點A橫坐標為2，求梯形ACBD的對角線的交點F的坐標；
②將沿x軸翻折得到，動點N在y₃上，若∠AON=90°，求的值．

Answer 1

解：（1）∵點A、B分別在反比例函數y₁=，y₂=，的圖象上，AG⊥x軸，AH⊥y軸，
∴S_矩形AHOG=k₁，S_△HOC=S_△BOG=
∴S_{四邊形ACOB}=S_矩形AHOG-（S_△HOC+S_△BOG=）=k₁-2×=k₁-k₂；

（2）①由題可知，當點A的橫坐標為2時，點A、B、C、D的坐標分別為A（2，4），B（2，1），C（，4），D（8，1）．
∵設直線CD的解析式為y=kx+b，
∴，解得，
∴直線CD的解析式為y=-x+，
∵AB∥y軸，F為梯形ACBD的對角線的交點，
∴x=2時，y=（-）×2+=
∴點F的坐標為（2，）
②∵反比例函數與關于x軸對稱，
∴反比例函的解析式為y=-，
∵點N在反比例函數y=-的圖象上，
∴設N（x，-）（x＞0），
∵∠AON=90°，由①知A（2，4），
∴×（-）=-1，解得x=2或x=-2（舍去），
∴N（2，-1），
∴ON==，AO==2，
∴==2．
分析：（1）直接根據反比例函數系數k的幾何意義進行解答即可；
（2）①首先根據點A的橫坐標和雙曲線的解析式，可以分別求得點A、B、C、D四個點的坐標．根據點C、D的坐標可以運用待定系數法求得直線CD的解析式，根據題意，得點F的橫坐標是2，再進一步把x=2代入直線CD的解析式即可求得點F的縱坐標；
②先根據關于x軸對稱的點的坐標特點求出反比例函數的解析式，設出N點坐標，根據互相垂直的兩條直線的關系求出N點坐標，再根據勾股定理求出AO及ON的長，故可得出結論．
點評：本題考查的是反比例函數綜合題，涉及到反比例函數系數k的幾何意義、用待定系數法求一次函數函數的解析式及關于x軸對稱的點的坐標特點，涉及面較廣，難度適中．